黎曼猜想

黎曼猜想首次發表於黎曼 1859 年的開創性論文 (Riemann 1859) 中，是一個深刻的數學猜想，它指出非平凡 黎曼 zeta 函式零點，即 值（除了 、 、 、 ... 使得 (其中 是 黎曼 zeta 函式)）都位於“臨界線” 上（其中 表示 的實部）。

一個更廣義的陳述，被稱為 廣義黎曼猜想，推測 黎曼 zeta 函式 和任何 狄利克雷 L-級數 都沒有 實部 大於 1/2 的零點。

傳說在赫維茨去世後，在他的圖書館裡發現的黎曼著作集中，會自動翻到黎曼猜想被提出的那一頁 (Edwards 2001, p. ix)。

長期以來，人們認為黎曼猜想是黎曼深刻直覺的結果，但 C. L. Siegel 對黎曼論文的檢查表明，黎曼對 黎曼 zeta 函式 的小零點進行了詳細的數值計算，精確到小數點後幾位 (Granville 2002; Borwein and Bailey 2003, p. 68)。

迄今為止，黎曼猜想抵制了所有證明它的嘗試。Stieltjes (1885) 發表了一篇筆記，聲稱已經證明了 梅滕斯猜想，其中 ，這個結果比黎曼猜想更強，並且可以從中推匯出黎曼猜想。然而，該證明本身從未發表，也沒有在 Stieltjes 死後的論文中找到 (Derbyshire 2004, pp. 160-161 和 250)。此外，梅滕斯猜想已被證明是錯誤的，完全否定了這一說法。在 20 世紀 40 年代後期，時代雜誌報道了 H. Rademacher 對黎曼猜想的錯誤證偽，即使在 Siegel 發現該證明中的缺陷之後也是如此 (Borwein and Bailey 2003, p. 97; Conrey 2003)。de Branges 撰寫了許多論文，討論了 廣義黎曼猜想 的潛在方法 (de Branges 1986, 1992, 1994)，實際上聲稱證明了廣義黎曼猜想 (de Branges 2003, 2004; Boutin 2004)，但這些論文中似乎沒有實際的證明。此外，Conrey 和 Li (1998) 證明了 de Branges 方法的反例，這基本上意味著 de Branges 開發的理論是不可行的。

證明黎曼猜想是 希爾伯特問題 的第 8 個問題和 斯梅爾問題 的第 1 個問題。

2000 年，克雷數學研究所 (http://www.claymath.org/) 為證明黎曼猜想提供了 100 萬美元的獎金 (http://www.claymath.org/millennium/Rules_etc/)。有趣的是，證偽 黎曼猜想（例如，透過使用計算機實際找到一個不在 臨界線 上的零點）不會獲得 100 萬美元的獎勵。

黎曼猜想已經過計算測試，發現對於前 個零點是成立的，由 Brent et al. (1982) 完成，涵蓋了區域 中的零點 。S. Wedeniwski 使用 ZetaGrid (http://www.zetagrid.net/) 證明了前一萬億 () 個非平凡零點位於 臨界線 上。Gourdon (2004) 隨後使用 Odlyzko 和 Schönhage 的更快方法驗證了前一千萬億 () 個 函式的非平凡零點位於 臨界線 上。此計算驗證了黎曼猜想至少對於所有小於 2.4 萬億的 都是成立的。這些結果總結在下表中，其中 表示一個 格拉姆點。

		來源
		Brent et al. (1982)
		Wedeniwski/ZetaGrid
		Gourdon (2004)

黎曼猜想等價於狄利克雷 eta 函式（又名交錯 zeta 函式）的所有零點的陳述：

(1)

落在 臨界帶 中的零點都位於 臨界線 上。

維納表明，素數定理 實際上等價於 黎曼 zeta 函式 在 上沒有零點的斷言 (Hardy 1999, pp. 34 和 58-60; Havil 2003, p. 195)。

1914 年，哈代證明了可以找到 的無限個值，使得 且 (Havil 2003, p. 213)。然而，尚不清楚所有非平凡根 是否滿足 。塞爾伯格 (1942) 表明，正比例的非平凡零點位於 臨界線 上，Conrey (1989) 證明該比例至少為 40% (Havil 2003, p. 213)。

安德烈·韋伊證明了黎曼猜想對於場函式是成立的 (Weil 1948, Eichler 1966, Ball and Coxeter 1987)。1974 年，萊文森 (1974ab) 表明至少 1/3 的根必須位於 臨界線 上 (Le Lionnais 1983)，這一結果後來被銳化到 40% (Vardi 1991, p. 142)。已知零點關於直線 對稱分佈。這源於對於所有複數 ，

1. 和 複共軛 關於這條直線對稱分佈。

2. 從定義 (1) 可以看出，黎曼 zeta 函式 滿足 ，因此如果 是一個零點，那麼 也是一個零點，因為那時 。

還已知非平凡零點關於 臨界線 對稱分佈，這個結果源於函式方程和關於直線 的對稱性。因為如果 是一個非平凡零點，那麼 也是一個零點（根據函式方程），然後 是另一個零點。但是 和 關於直線 對稱分佈，因為 ，並且如果 ，那麼 。黎曼猜想等價於 ，其中 是 de Bruijn-Newman 常數 (Csordas et al. 1994)。它也等價於斷言對於某個常數 ，

(2)

其中 是 對數積分， 是 素數計數函式 (Wagon 1991)。另一個等價形式指出

(3)

其中

(4)

且 是 小數部分 (Balazard and Saias 2000)。

透過修改 Robin (1984) 的一個判據，Lagarias (2000) 表明黎曼猜想等價於以下陳述：

(5)

對於所有 ，只有當 時等號成立，其中 是調和數， 是 除數函式 (Havil 2003, p. 207)。上面的圖顯示了這兩個函式（左圖）及其差值（右圖），對於 最大到 1000。

還存在黎曼猜想的有限類似物，涉及由如下方程定義的函式域的零點位置：

(6)

韋伊提出的這個猜想類似於通常的黎曼猜想。對於特定情況 、(3,3)、(4,4) 和 (2,4)，高斯已知解的數量。

據菲爾茲獎得主恩里科·邦比耶裡說，“黎曼猜想的失敗將會在素數分佈中造成混亂” (Havil 2003, p. 205)。

在朗·霍華德 2001 年的電影美麗心靈中，約翰·納什（羅素·克勞飾演）因服用治療精神分裂症的藥物而阻礙了他解決黎曼猜想的嘗試。

在電視劇數字追兇第一季的劇集 "頭號嫌疑犯" (2005) 中，數學天才查理·埃普斯意識到角色伊森的女兒被綁架，是因為他即將解決黎曼猜想，據稱這將使肇事者能夠破解基本上所有的網際網路安全。

在小說天才之後的生活 (Jacoby 2008) 中，主角西奧多“米德”費格利（年僅 18 歲，大學高年級學生）試圖為他的畢業研究專案證明黎曼猜想。他還使用 Cray 超級計算機計算了黎曼 zeta 函式的數十億個零點。在書中的幾個夢境中，米德與伯恩哈德·黎曼就這個問題和一般數學進行了對話。