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李氏判據

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李氏判據指出，黎曼猜想 等價於以下陳述，對於

lambda_n=1/((n-1)!)(d^n)/(ds^n)[s^(n-1)lnxi(s)]|_(s=1),
(1)

其中 xi(s) 是 xi函式，lambda_n>=0 對於每個正整數 n (Li 1997)。李氏常數可以寫成如下替代形式

lambda_n=((-1)^n)/((n-1)!)(d^n)/(ds^n)[(1-s)^(n-1)lnxi(s)]_(s=0)
(2)

(Coffey 2004)。

lambda_n 也可以寫成非平凡零點 rho 的和，zeta(s) 如下：

lambda_n=sum_(rho)[1-(1-1/rho)^n]
(3)

(Li 1997, Coffey 2004)。

用 lambda_n 表示 xi(s) 的遞推關係式由下式給出

lambda_(n+1)=lambda_n+1/(n!)[(d^n)/(ds^n)s^n(xi^'(s))/(xi(s))]_(s=1)
(4)

(Coffey 2004)。

常數 lambda_n 的前幾個顯式值為

lambda_1=1+1/2gamma-ln2-1/2lnpi
(5)
lambda_2=1+gamma-gamma^2+1/8pi^2-2gamma_1-2ln2-lnpi
(6)
lambda_3=1+gamma-gamma^2-2gamma_1+1/8pi^2-2ln2-lnpi,
(7)

其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數，gamma_k 是 Stieltjes 常數。lambda_n 可以使用 Coffey (2004) 給出的遞推公式有效地以閉合形式計算，即

lambda_n=1-1/2n(gamma+lnpi+2ln2)-sum_(m=1)^n(n; m)eta_(m-1)+sum_(m-2)^n(-1)^m(n; m)(1-2^(-m))zeta(m),
(8)

其中

eta_n=(-1)^(n-1)[(n+1)/(n!)gamma_n+sum_(k=0)^(n-1)((-1)^(k-1))/((n-k-1)!)eta_kgamma_(n-k-1)]
(9)

並且 eta_0=-gamma。

nlambda_nOEIS
10.0230957...A074760
20.0923457...A104539
30.2076389...A104540
40.3687904...A104541
60.5755427...A104542
71.1244601...A306340
81.4657556...A306341

Edwards 2001 (p. 160) 給出了 lambda_1 的數值，Coffey (2004) 表格化了高達 n=25 的六位數值。

LiCriterionLambdas

雖然 lambda_n 的值高達 n approx 10 可以用拋物線很好地擬合

lambda_n∼0.023n^2
(10)

（左圖），較大的項顯示出與拋物線擬合明顯的偏差（右圖）。

參見

黎曼猜想, 黎曼Zeta函式零點, Xi函式

使用 探索

參考文獻

Bombieri, E. and Lagarias, J. C. "Complements to Li's Criterion for the Riemann Hypothesis." J. Number Th. 77, 274-287, 1999.Coffey, M. W. "Relations and Positivity Results for Derivatives of the Riemann xi Function." J. Comput. Appl. Math. 166, 525-534, 2004.Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.Keiper, J. B. "Power Series Expansions of Riemann's xi Function." Math. Comput. 58, 765-773, 1992.Li, X.-J. "The Positivity of a Sequence of Numbers and the Riemann Hypothesis." J. Number Th. 65, 325-333, 1997.Sloane, N. J. A. Sequences A074760, A104539, A104540, A104541, and A104542 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中引用

李氏判據

請引用為

Weisstein, Eric W. "李氏判據。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LisCriterion.html

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