黎曼 Zeta 函式的零點

黎曼 zeta 函式的零點分為兩種型別。所謂的“平凡零點”出現在所有負偶數整數 , , , ...，而“非平凡零點”出現在滿足以下條件的的某些值處

(1)

對於 "臨界帶" 中的。一般來說，的非平凡零點記為，且當時的第個非平凡零點通常記為 (Brent 1979; Edwards 2001, p. 43)，其對應的值稱為。

維納 (Wiener) (1951) 表明，素數定理實際上等價於在上沒有零點的論斷 (Hardy 1999, p. 34; Havil 2003, p. 195)。黎曼猜想斷言，的非平凡零點都具有實部，這條線被稱為“臨界線”。已知對於前個零點，這是成立的。

(1995) 製作了一張引人入勝的海報，繪製了臨界線上黎曼 zeta 函式的零點，並附有相關歷史資訊的註釋，如上圖所示。

	最小值	最大值
實部
虛部

上面的圖表顯示了在複平面中繪製的的實部和虛部，以及的復模。可以看出，在右半平面，該函式相當平坦，但有大量的水平脊。非平凡零點恰好位於這些脊上。

透過繪製零實部（紅色）和虛部（藍色）的輪廓，可以稍微更容易地看到復零點的位置，如上圖所示。零點（用黑點表示）出現在曲線相交的地方。

上面的圖形透過繪製（其中零點是凹陷）和（其中零點是峰值）突出了複平面中的零點。

上面的圖表顯示了當在 0 到 60 之間時的值。可以看出，前幾個非平凡零點出現在下表給出的值處 (Wagon 1991, pp. 361-362 和 367-368; Havil 2003, p. 196; Odlyzko)，其中相應的負值也是根。最接近這些值的整數是 14, 21, 25, 30, 33, 38, 41, 43, 48, 50, ... (OEIS A002410)。小於 10, , , ... 的非平凡零點的數量是 0, 29, 649, 10142, 138069, 1747146, ... (OEIS A072080; Odlyzko)。

	OEIS
1	A058303	14.134725
2		21.022040
3		25.010858
4		30.424876
5		32.935062
6		37.586178

黎曼定義的所謂 xi 函式與的非平凡零點具有完全相同的零點，並且是整函式，是純實數，因此更容易定位。

ZetaGrid 是一個分散式計算專案，旨在計算儘可能多的零點。截至 2005 年 2 月 18 日，它已達到 10299 億個零點。Gourdon (2004) 使用 Odlyzko 和 Schönhage 的演算法計算了前個零點 (Pegg 2004, Pegg 和 Weisstein 2004)。下表列出了計算出的零點數量的歷史基準 (Gourdon 2004)。

年份		作者
1903	15	J. P. Gram
1914	79	R. J. Backlund
1925	138	J. I. Hutchinson
1935		E. C. Titchmarsh
1953		A. M. Turing
1956		D. H. Lehmer
1956		D. H. Lehmer
1958		N. A. Meller
1966		R. S. Lehman
1968		J. B. Rosser, J. M. Yohe, L. Schoenfeld
1977		R. P. Brent
1979		R. P. Brent
1982		R. P. Brent, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter
1983		J. van de Lune, H. J. J. te Riele
1986		J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter
2001		J. van de Lune (未發表)
2004		S. Wedeniwski
2004		X. Gourdon 和 P. Demichel

數值證據表明，對應於非平凡零點的所有值都是無理數（例如，Havil 2003, p. 195; Derbyshire 2004, p. 384）。

目前尚不知道階數大於 1 的零點。雖然此類零點的存在不會反駁黎曼猜想，但它會給許多當前的計算技術帶來嚴重問題 (Derbyshire 2004, p. 385)。

一些非平凡零點非常接近，這種性質被稱為萊默現象。

黎曼 zeta 函式可以根據其非平凡零點分解為 Hadamard 乘積

(2)

(Titchmarsh 1987, Voros 1987)。

設表示的第個非平凡零點，並將這些零點的負整數次冪之和寫為

(3)

(Lehmer 1988, Keiper 1992, Finch 2003, p. 168)，有時也表示為 (例如，Finch 2003, p. 168)。但是根據函式方程，非平凡零點成對出現，如和，因此如果虛部為正的零點寫為，則和變為

(4)

這些和可以解析計算，前幾個是

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其中是尤拉-馬歇羅尼常數，是斯蒂爾傑斯常數，是黎曼 zeta 函式，是阿佩裡常數。這些值也可以用 Li 常數表示 (Bombieri 和 Lagarias 1999)。

情況是

(11)

(OEIS A074760; Edwards 2001, p. 160) 是經典的，黎曼知道這一點，並在計算的根時使用了它 (Davenport 1980, pp. 83-84; Edwards 2001, pp. 67 和 159)。它也等於 Li 判據中的常數。

假設黎曼猜想是正確的（因此），方程 (◇) 可以用簡單的形式寫出的前幾個值

			(12)
			(13)
			(14)
			(15)

等等。

另請參閱

臨界線, 臨界帶, 顯式公式, 格拉姆定律, 格拉姆點, Hadamard 乘積, 哈代定理, 希爾伯特-波利亞猜想, 朗道公式, 萊默現象, 李氏判據, 曼戈爾特函式, 蒙哥馬利-奧德利茲科定律, 蒙哥馬利對相關猜想, 黎曼猜想, 黎曼-馮·曼戈爾特公式, 黎曼 Zeta 函式, Xi 函式

使用探索

更多嘗試

參考文獻

Bombieri, E. and Lagarias, J. C. "Complements to Li's Criterion for the Riemann Hypothesis." J. Number Th. 77, 274-287, 1999.Brent, R. P. "On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip." Math. Comput. 33, 1361-1372, 1979.Brent, R. P.; van de Lune, J.; te Riele, H. J. J.; and Winter, D. T. "On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip. II." Math. Comput. 39, 681-688, 1982.Davenport, H. 乘法數論，第二版 New York: Springer-Verlag, 1980.Derbyshire, J. 素數 Obsession：伯恩哈德·黎曼與數學中最偉大的未解問題 New York: Penguin, 2004.Edwards, H. M. 黎曼 Zeta 函式 New York: Dover, 2001.Farmer, D. W. "Counting Distinct Zeros of the Riemann Zeta-Function." Electronic J. Combinatorics 2, No. 1, R1, 1-5, 1995. http://www.combinatorics.org/Volume_2/Abstracts/v2i1r1.html.Finch, S. R. 數學常數 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 168, 2003.Gourdon, X. "Computation of Zeros of the Zeta Function." http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeroscompute.html.Gourdon, X. "The

First Zeros of the Riemann Zeta Function, and Zeros Computation at Very Large Height." Oct. 24, 2004. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf.Gram, J.-P. "Sur les zéros de la fonction

de Riemann." Acta Math. 27, 289-304, 1903.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於他的生活和工作提出的主題的十二講座，第三版 New York: Chelsea, 1999.Havil, J. "The Zeros of Zeta." §16.6 in Gamma：探索尤拉常數 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 193-196, 2003.Hayes, B. "The Spectrum of Riemannium." Amer. Sci. 91, 296-300, 2003.Hutchinson, J. I. "On the Roots of the Riemann Zeta-Function." Trans. Amer. Math. Soc. 27, 49-60, 1925.Keiper, J. B. "Power Series Expansions of Riemann's

Function." Math. Comput. 58, 765-773, 1992.Landau, E. "Über die Nullstellen der Zetafunction." Math. Ann. 71, 548-564, 1911.Lehmer, D. H. "The Sum of Like Powers of the Zeros of the Riemann Zeta Function." Math. Comput. 50, 265-273, 1988.Odlyzko, A. M. "The

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?" Math. Intel. 8, 57-62, 1986.Wagon, S. Mathematica 實踐 New York: W. H. Freeman, 1991.Wiener, N. §19 et seq. in 傅立葉積分及其某些應用 New York: Dover, 1951.. "The Riemann Zeta Function on the Critical Line Plotted by Mathematica." 1995. https://mathworld.tw/pdf/posters/Zeta.pdf.ZetaGrid. http://www.zetagrid.net/.

在中引用

黎曼 Zeta 函式的零點

請引用為

Weisstein, Eric W. “黎曼 Zeta 函式的零點。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/RiemannZetaFunctionZeros.html

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另請參閱

使用 探索

參考文獻

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