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哈達瑪乘積

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HadamardProduct

哈達瑪乘積是黎曼zeta函式的一種表示，表示為其非平凡零點 rho,

zeta(s)=(e^([ln(2pi)-1-gamma/2]s))/(2(s-1)Gamma(1+1/2s))product_(rho)(1-s/rho)e^(s/rho),
(1)

其中 gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數，Gamma(z) 是Gamma函式 (Titchmarsh 1987, Voros 1987)。 指數中的常數由下式給出

A=ln(2pi)-1-1/2gamma
(2)
=0.549269234...
(3)

(OEIS A077142)。 哈達瑪使用魏爾斯特拉斯乘積定理推匯出這個結果。 上圖顯示了使用前 100 個（紅色）、500 個（黃色）、1000 個（綠色）和 2000 個（藍色）黎曼zeta函式零點，公式沿實軸的收斂性。

該乘積也可以用另一種形式表示

xi(s)=-e^(-A^'s)product_(rho)(1-s/rho)e^(s/rho),
(4)

其中 xi(s) 是xi函式，並且

A^'=-1/2gamma-1+1/2ln(4pi)
(5)

(Havil 2003, p. 204)。

另請參閱

黎曼 Zeta 函式, 黎曼 Zeta 函式零點, 魏爾斯特拉斯乘積定理

使用 探索

參考文獻

Havil, J. Gamma: 探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Sloane, N. J. A. Sequence A077142 in "整數序列線上百科全書。"Titchmarsh, E. C. 黎曼 Zeta 函數理論，第二版。 New York: Clarendon Press, 1987.Voros, A. "譜函式、特殊函式和塞爾伯格 Zeta 函式。" Commun. Math. Phys. 110, 439-465, 1987.

在 中被引用

哈達瑪乘積

請引用為

Weisstein, Eric W. “哈達瑪乘積。” 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/HadamardProduct.html

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