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Xi 函式

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XiReal
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xi 函式是函式

xi(z)=1/2z(z-1)(Gamma(1/2z))/(pi^(z/2))zeta(z)
(1)
=((z-1)Gamma(1/2z+1)zeta(z))/(sqrt(pi^z)),
(2)

其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式，而 Gamma(z) 是 伽瑪函式 (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 1076; Hardy 1999, p. 41; Edwards 2001, p. 16)。這是黎曼在其里程碑式的論文 (Riemann 1859) 中最初定義的函式的變體，其中上述現在標準的符號表示法遵循 Landau (Edwards 2001, p. 16)。

它是一個 整函式 (Edwards 2001, p. 16)。

它在 Wolfram 語言中實現為RiemannXi[s].

XiFunctionRoots

xi(z) 的零點及其 導數 的零點都位於 臨界帶 z=sigma+it 上，其中 0<sigma<1。因此，黎曼 zeta 函式 的非平凡零點與 xi(z) 的零點完全對應 (即，xi(1/2+it) 的根與實數 t 的 zeta(1/2+it) 的根相同)，另外的好處是 xi(1/2+it) 是純實數。

前幾個零點出現在下表總結的值中 (Wagon 1991, pp. 361-362 和 367-368; Havil 2003, p. 196; Odlyzko)，其中相應的負值也是根。最接近這些值的整數是 14、21、25、30、33、38、41、43、48、50、... (OEIS A002410)。小於 10、10^2、10^3、... 的零點數量分別為 0、29、649、10142、138069、1747146、... (OEIS A072080; Odlyzko)。

nOEISt_n
1A05830314.134725
221.022040
325.010858
430.424876
532.935062
637.586178

特殊值包括

xi(0)=1/2
(3)
xi(1)=1/2
(4)
xi(2)=1/6pi
(5)
xi(3)=(3zeta(3))/(2pi)
(6)
xi(4)=1/(15)pi^2
(7)
xi(5)=(15zeta(5))/(2pi^2).
(8)

xi 函式滿足 函式方程

xi(1-z)=xi(z)
(9)

(Edwards 2001, p. 16)。

xi 函式在 1/2 附近有泰勒級數

xi(s)=sum_(n=0)^inftya_(2n)(s-1/2)^(2n),
(10)

其中

a_(2n)=4int_1^infty(d[x^(3/2)psi^'(x)])/(dx)((1/2lnx)^(2n))/((2n)!)x^(-1/4)dx
(11)

並且

psi(x)=sum_(n=1)^(infty)e^(-n^2pix)
(12)
=1/2[theta_3(0,e^(-pix))-1]
(13)

(Edwards 2001, p. 15)，其中 theta_n(z,q) 是 雅可比 theta 函式。係數 a_0 具有簡單的解析形式

a_0=-(Gamma(1/4)zeta(1/2))/(8pi^(1/4))
(14)
=0.497120778...
(15)

(OEIS A114720)。

正如黎曼 (1859) 所述，並由 Hadamard (1893) 首次嚴格證明，xi 函式可以寫成

xi(s)=xi(0)product_(rho)(1-s/rho),
(16)

其中乘積遍歷 xi(rho)=0 的根 rho (Edwards 2001, pp. 17-21)。

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擴充套件到 複平面 的 xi 函式如上圖所示。

函式 xi(z) 與以下項相關

Xi(t)=xi(z),
(17)

其中 z=1/2+it (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 1074; Edwards 2001, p. 16)，這是黎曼最初考慮並實際表示為 xi(t) 的函式 (Edwards 2001, p. 16)。此函式也可以定義為

Xi(it)=1/2(t^2-1/4)pi^(-t/2-1/4)Gamma(1/2t+1/4)zeta(t+1/2),
(18)

給出

Xi(t)=-1/2(t^2+1/4)pi^(it/2-1/4)Gamma(1/4-1/2it)zeta(1/2-it).
(19)

de Bruijn-Newman 常數 是根據 Xi(t) 函式定義的。

Hardy (1914) 證明 xi(1/2+it) 有無數個實根 (Hardy 定理)，Hardy 和 Littlewood (1921) 證明 0 到 T 之間的實根數至少為 KT，其中 K 為某個正常數，T 為所有足夠大的值，Selberg (1942) 證明，事實上，這個數字至少為 KTlnT，其中 K 為某個正數，T 為所有大的值 (Edwards 2001, p. 19)。

Coffey (2004) 給出了 xi(s) 導數的許多公式。

另請參閱

de Bruijn-Newman 常數, Lehmer 現象, 李準則, 黎曼猜想, 黎曼-西格爾函式, 黎曼-西格爾積分公式, 黎曼 Zeta 函式, 黎曼 Zeta 函式零點

使用 探索

參考文獻

Borwein, J. M.; Bradley, D. M.; and Crandall, R. E. "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function." J. Comput. Appl. Math. 121, 247-296, 2000.Brent, R. P. "On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip." Math. Comput. 33, 1361-1372, 1979.Brent, R. P.; van de Lune, J.; te Riele, H. J. J.; and Winter, D. T. "On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip. II." Math. Comput. 39, 681-688, 1982.Coffey, M. W. "Relations and Positivity Results for Derivatives of the Riemann xi Function." J. Comput. Appl. Math. 166, 525-534, 2004.Conrey, J. B. "The Riemann Hypothesis." Not. Amer. Math. Soc. 50, 341-353, 2003. http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf.Edwards, H. M. "The Function xi(s)." §1.8 in Riemann's Zeta Function. New York: Dover, pp. 16-18, 2001.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, corr. enl. 4th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.Hadamard, J. "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann." J. math. pures appl. 9, 171-215, 1893.Hardy, G. H. "Sur les zéros de la fonction zeta(s) de Riemann." C. R. Acad. Sci. Paris 158, 1012-1014, 1914.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. "The Zeros of Riemann's Zeta-Function on the Critical Line." Math. Z. 10, 283-317, 1921.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 202-203, 2003.Keiper, J. B. "Power Series Expansions of Riemann's xi Function." Math. Comput. 58, 765-773, 1992.Li, X.-J. "The Positivity of a Sequence of Numbers and the Riemann Hypothesis." J. Number Th. 65, 325-333, 1997.Odlyzko, A. M. "The 10^(20)th Zero of the Riemann Zeta Function and 70 Million of Its Neighbors." Preprint.Odlyzko, A. "Tables of Zeros of the Riemann Zeta Function." http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/.Riemann, G. F. B. "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse." Monatsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 671-680, Nov. 1859.Reprinted in Das Kontinuum und Andere Monographen (Ed. H. Weyl). New York: Chelsea, 1972. Also reprinted in English translation in Edwards, H. M. Appendix. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, pp. 299-305, 2001.Selberg, A. "On the Zeros of Riemann's Zeta-Function." Skr. Norske Vid.-Akad. Oslo, No. 10, 1942.Sloane, N. J. A. Sequences A002410, A058303, A072080, and A114720 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Titchmarsh, E. C. The Theory of the Riemann Zeta Function, 2nd ed. New York: Clarendon Press, 1987.Wagon, S. "The Evidence: Where Are the Zeros of Zeta of s?" Math. Intel. 8, 57-62, 1986.Wagon, S. Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, 1991.

在 中被引用

Xi 函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Xi 函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Xi-Function.html

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