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Riemann-Siegel 積分公式

Riemann-Siegel 積分公式是以下 xi 函式 xi(s) 的表示，由 Bessel-Hagen 於 1926 年在 Riemann 的遺稿中發現 (Siegel 1932; Edwards 2001, p. 166)。該公式本質上是

(2xi(s))/(s(s-1))=F(s)+F(1-s^_)^_,
(1)

其中

F(s)=Gamma(1/2s)pi^(-s/2)int_(0->1)(e^(-inx^2)x^(-s)dx)/(e^(ipix)-e^(-ipix)),
(2)

符號 0->1 表示積分路徑是斜率為 -1 的直線，該直線穿過 0 和 1 之間的實軸，方向從左上到右下，其中 x^(-s) 在割裂平面（排除 0 和負實數）上定義，透過取 lnx 在正實軸上為實數並設定 x^(-s)=e^(-slnx) (Edwards 2001, p. 167)。這裡，F(s) 在 -2、-4、... 處解析，並在 0 處有一個簡單極點。

該公式給出了函式方程的證明

xi(s)=xi(1-s).
(3)

另請參閱

Xi 函式

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參考文獻

Edwards, H. M. "Riemann-Siegel 積分公式" 和 "積分公式的另一種證明"。§7.9 和 12.6 in Riemann 的 Zeta 函式。 New York: Dover, pp. 165-170 和 273-278, 2001。Kuzmin, R. "關於 Dirichlet 級數的根。" Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Math. Nat. Sci. 7, 1471-1491, 1934。Siegel, C. L. "關於 Riemann 關於解析數論的遺稿。" Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2, 45-80, 1932。 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966。

在 中引用

Riemann-Siegel 積分公式

引用為

Weisstein, Eric W. "Riemann-Siegel 積分公式。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/Riemann-SiegelIntegralFormula.html

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