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Riemann-von Mangoldt 公式

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RiemannVonMangoldtFormula

在他 1859 年的著名論文中，黎曼指出 N(T) 個 黎曼 zeta 函式零點 sigma+it，其中 0<t<=T，漸近地由下式給出

N(T)=T/(2pi)ln(T/(2pi))-T/(2pi)+O(lnT)
(1)

當 T->infty 時 (Edwards 2001, p. 19; Havil 2003, p. 203; Derbyshire 2004, p. 258)。這可以更緊湊地寫作

N(T)=T/(2pi)ln(T/(2pie))+O(lnT).
(2)

這個結果在 1905 年由 von Mangoldt 證明，因此被稱為 Riemann-von Mangoldt 公式。

由此得出，高度為 T 的零點密度 D(T)=N(T+1)-N(T) 為

D(T)∼(lnT)/(2pi),
(3)

其中，通常情況下，漸近符號 f(n)∼g(n) 意味著比率 f(n)/g(n) 趨於 1，當 n->infty 時。

這個結果的另一個推論是，上半平面中連續 zeta 零點的虛部 0<t_1<=t_2<=t_3<=... 滿足

t_n∼(2pin)/(lnn).
(4)

因此，t_n 和 t_(n+1) 之間的平均間距 d_n 為

d_n∼(2pi)/(lnn),
(5)

當 n->infty 時，它趨於零。

另請參閱

Landau 公式, Riemann-Siegel 公式, 黎曼 Zeta 函式, 黎曼 Zeta 函式零點

此條目由 Jonathan Sondow 貢獻 (作者連結)

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參考文獻

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, p. 217, 2004.Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 138, 2003.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Ivic, A. A. The Riemann Zeta-Function. New York: Wiley, pp. 17-20, 1985.Riemann, G. F. B. "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse." Monatsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 671-680, Nov. 1859.Reprinted in Das Kontinuum und Andere Monographen (Ed. H. Weyl). New York: Chelsea, 1972.

在 上引用

Riemann-von Mangoldt 公式

請引用為

Sondow, Jonathan. "Riemann-von Mangoldt 公式。" 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/Riemann-vonMangoldtFormula.html

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