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黎曼-Siegel 公式

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黎曼-Siegel 公式是由黎曼發現（但未發表）的用於計算 黎曼-Siegel 函式 theta(t) 的漸近公式的公式。該公式後來在黎曼論文的檔案中被 C. L. Siegel 發現（Edwards 2001, p. 136; Derbyshire 2004, pp. 257 和 263），並由 Siegel 於 1932 年發表。

黎曼-Siegel 公式指出：

Z(t)∼2sum_(k=1)^(nu(t))1/(sqrt(k))cos[theta(t)-tlnk]+R(t),
(1)

其中

nu(t)=|_sqrt(t/(2pi))_|
(2)
R(t)=(-1)^(nu(t)-1)(t/(2pi))^(-1/4)×sum_(k=0)^(infty)c_k(sqrt(t/(2pi))-nu(t))(t/(2pi))^(-k/2)
(3)
c_k(p)=[omega^k]{exp[i(ln(t/(2pi))-1/2t-1/8pi-theta(t))]×[y^0][(sum_(j=0)^(infty)A_j(y)omega^j)(sum_(j=0)^(infty)(psi^((j))(p))/(j!)y^j)]}
(4)
A_0(y)=e^(2piiy^2)
(5)
A_j(y)=-1/2yA_(j-1)(y)-1/(32pi^2)(partial^2)/(partialy^2)(A_(j-1)(y))/y
(6)
psi(p)=(cos[2pi(p^2-p-1/(16))])/(cos(2pip))
(7)

|_x_| 是向下取整函式（Edwards 2001），[y^k] 是係數表示法。前幾項 c_k(p) 由下式給出：

c_0(p)=psi(p)
(8)
c_1(p)=-(psi^((3))(p))/(96pi^2)
(9)
c_2(p)=(psi^('')(p))/(64pi^2)+(psi^((6))(p))/(18432pi^4)
(10)
c_3(p)=-(psi^'(p))/(64pi^2)-(psi^((5))(p))/(3840pi^4)-(psi^((9))(p))/(5308416pi^6)
(11)
c_4(p)=(psi(p))/(128pi^2)+(19psi^((4))(p))/(24576pi^4)+(11psi^((8))(p))/(5898240pi^6)+(psi^((12))(p))/(2038431744pi^8)
(12)
c_5(p)=-(5psi^((3))(p))/(3072pi^4)-(901psi^((7))(p))/(82575360pi^6)-(7psi^((11))(p))/(849346560pi^8)-(psi^((15))(p))/(978447237120pi^(10)).
(13)

分子和分母分別為 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 19, 11, 1, -5, -901, ... (OEIS A050276) 和 1, 96, 64, 18432, 64, 3840, 5308416, 128, ... (OEIS A050277)。

它基於以下積分的計算：

psi(p)=(e^(ipi/8)e^(-2piip^2))/(2pii)int_Gamma(e^(iu^2/(4pi))e^(2pu))/(e^u-1)du
(14)
=(cos[2pi(p^2-p-1/(16))])/(cos(2pip)),
(15)

也表示為 Psi(p)，其中 Gamma 是一條斜率為 1 的線段，方向從右上到左下，它穿過虛軸，介於 0 和 2pii 之間（Edwards 2001, p. 147）。

另一個歸因於黎曼和 Siegel 的公式是黎曼在其 1859 年的開創性論文中提出的公式：

(pi(x)-Li(x))/((sqrt(x))/(lnx)) approx -1-2sum_(gamma in S)(sin(gammalnx))/gamma,
(16)

其中 pi(x) 是素數計數函式，Li(x) 是對數積分，S 是 gamma 的集合，使得 gamma>0 且 1/2+igamma 是 黎曼 zeta 函式 zeta(s) 的（非平凡）零點。這裡，左側是對 Li(x) 作為 素數計數函式 的估計器的過度計數，該估計器透過誤差項的明顯大小進行歸一化處理（Borwein 和 Bailey 2003, p. 68）。

另請參閱

對數積分, 素數計數函式, 素數定理, 黎曼-Siegel 函式, 黎曼-Siegel 積分公式, 黎曼-馮·曼戈爾特公式, 黎曼 Zeta 函式

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參考文獻

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, p. 68, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.Edwards, H. M. "The Riemann-Siegel Formula." Ch. 7 in Riemann's Zeta Function. New York: Dover, pp. 136-170, 2001.Granville, A. and Martin, G. "Prime Number Races." Aug. 24, 2004. http://www.arxiv.org/abs/math.NT/0408319.Riemann, G. F. B. "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse." Monatsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 671-680, Nov. 1859. Reprinted in Das Kontinuum und Andere Monographen (Ed. H. Weyl). New York: Chelsea, 1972.Sloane, N. J. A. Sequences A050276 and A050277 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

黎曼-Siegel 公式

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "Riemann-Siegel 公式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Riemann-SiegelFormula.html

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