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素數定理

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PrimePi

素數定理給出了素數計數函式 pi(n) 的漸近形式，它計數了小於某個整數 n 的素數的數量。勒讓德 (Legendre) (1808) 提出，對於大的 n，

pi(n)∼n/(lnn+B),
(1)

其中 B=-1.08366 （其中 B 有時被稱為勒讓德常數），這個公式僅在主導項中是正確的，

n/(lnn+B)sinn/(lnn)-Bn/((lnn)^2)+B^2n/((lnn)^3)+...
(2)

(Nagell 1951, p. 54; Wagon 1991, pp. 28-29; Havil 2003, p. 177)。

在 1792 年，年僅 15 歲的 高斯 提出

pi(n)∼n/(lnn).
(3)

高斯 後來將他的估計改進為

pi(n)∼Li(n),
(4)

其中

Li(n)=int_2^n(dx)/(lnx)
(5)

是對數積分。高斯 沒有發表這個結果，他最早在 1849 年寫給 恩克 的信中提到它。它隨後於 1863 年被追授發表 (Gauss 1863; Havil 2003, pp. 174-176)。

請注意，Li(n) 具有關於 infty 的漸近級數

Li(n)∼sum_(k=0)^(infty)(k!n)/((lnn)^(k+1))
(6)
∼n/(lnn)+n/((lnn)^2)+(2n)/((lnn)^3)+...,
(7)

並且已經表明，取前三項比單獨的 n/lnn 更好 (Derbyshire 2004, pp. 116-117)。

語句 (4) 通常被稱為“素數定理”，並由 阿達瑪 (Hadamard) (1896) 和 德拉瓦萊-普桑 (de la Vallée Poussin) (1896) 獨立證明。上面顯示了 pi(n) (下曲線) 和 Li(n) 對於 n<=1000 的圖。

對於小的 n，已經檢查過，並且總是發現 pi(n)<Li(n)。因此，許多傑出的數學家，包括 高斯 和 黎曼，都推測這個不等式是嚴格的。令所有人驚訝的是，當 李特伍德 (Littlewood) (1914) 證明對於足夠大的 n，不等式會無限次反轉時，這個猜想被駁斥了 (Ball and Coxeter 1987; Havil 2003, p. 199)。然後， 斯庫斯 (Skewes) 表明，pi(n)-Li(n)=0 的第一次交叉發生在 10^(10^(10^(34))) 之前，這個數字現在被稱為 斯庫斯數 (Havil 2003, p. 199)。交叉點的上限隨後已降至 10^(371)。萊曼 (Lehman) (1966) 證明，對於具有 1166 或 1167 位十進位制數字的數字，至少發生 10^(500) 次反轉。

切比雪夫 (Chebyshev) 對比率設定了限制

7/8<(pi(n))/(n/(lnn))<9/8
(8)

(Landau 1927; Nagell 1951, p. 55; Landau 1974; Hardy and Wright 1979, Ch. 22; Ingham 1990; Rubinstein and Sarnak 1994; Hardy 1999, p. 27; Derbyshire 2004, pp. 124 和 154)。對於大的 n，他表明

0.89Li(n)<pi(n)<1.11Li(n),
(9)

其中 Li(x) 是對數積分 (Edwards 2001, p. 4)，並且

0.922<(pi(n))/(n/(lnn))<1.105
(10)

(Havil 2003, p. 186)。他還表明，如果極限

lim_(n->infty)(pi(n))/(n/(lnn))
(11)

存在，則它為 1 (Havil 2003, p. 186)。德比郡 (Derbyshire) (2004, p. 124) 的說法，即在 1850 年，切比雪夫 (Chebyshev) 也表明，pi(n) 與 n/lnn 的差異不超過約 10%，因此僅對於足夠大的 n 是正確的。

阿達瑪 (Hadamard) 和 德拉瓦萊-普桑 (de la Vallée Poussin) 在 1896 年獨立證明了素數定理，他們證明了黎曼 zeta 函式 zeta(z) 沒有形如 1+it 的零點，這意味著證明不需要 zeta(s) 的更深層次的性質 (Smith 1994, p. 128; Hardy 1999, pp. 58-60)。維納 (Wiener) (1951) 允許從字面上解釋這個有些模糊的陳述 (Hardy 1999, pp. 34 和 46)，並且 朗道 (Landau) (1932) 和 博赫納 (Bochner) (1933) 簡化了這個證明。

埃爾德什 (Erdős) (1949) 和 塞爾伯格 (Selberg) (1950) 發現了初等證明 (Ball and Coxeter 1987, p. 63; Havil 2003, p. 188)，儘管關於這項聯合工作的優先權糾紛破壞了這個原本優美的證明 (Hoffman 1998, pp. 39-41; Derbyshire 2004, p. 125)。素數定理的初等證明的版本出現在 Nagell (1951) 的最後一節以及 Hardy 和 Wright (1979, pp. 359-367) 中。正如 Hardy 和 Wright (1979, p. 9) 所指出的那樣，儘管這個證明是“初等的”，但“這個證明並不容易。”

阿達瑪 (Hadamard) 的證明依賴於簡單的三角不等式

3+4costheta+cos(2theta)=2(1+costheta)^2>=0
(12)

(Hardy 1999, p. 58; Havil 2003, p. 187)。德拉瓦萊-普桑 (de la Vallée Poussin) (1899) 表明

pi(x)=Li(x)+O(x/(lnx)e^(-asqrt(lnx)))
(13)

對於某個常數 a (Knuth 1998, p. 381)，其中 O(x) 是漸近符號。1901 年，科赫 (Koch) 表明，如果黎曼猜想為真，則

pi(x)=Li(x)+O(sqrt(x)lnx)
(14)

(Havil 2003, p. 205)，它可以寫成稍微弱一點的形式

pi(x)=Li(x)+O(x^(1/2+epsilon))
(15)

(Derbyshire 2004, pp. 237 和 242-244)。

（15）中的誤差項隨後已改進為

pi(x)=Li(x)+O(xexp(-(A(lnx)^(3/5))/((lnlnx)^(1/5))))
(16)

(Walfisz 1963; Riesel 1994, p. 56; Knuth 1998, p. 382; Derbyshire 2004, p. 244)。英厄姆 (Ingham) (1930) 使用拉馬努金 (Ramanujan) 恆等式證明了素數定理

sum_(n=1)^infty(sigma_a(n)sigma_b(n))/(n^s)=(zeta(s)zeta(s-a)zeta(s-b)zeta(s-a-b))/(zeta(2s-a-b)),
(17)

其中 sigma_a(n) 是除數函式 (Hardy 1999, pp. 59-60)。

黎曼 (Riemann) 用以下公式估計了素數計數函式

pi(n)∼Li(n)-1/2Li(n^(1/2)),
(18)

對於 n<10^7，這是一個比 Li(n) 更好的近似值。黎曼 (Riemann) (1859) 還提出了黎曼函式

R(x)=sum_(n=1)^infty(mu(n))/nLi(x^(1/n)),
(19)

其中 mu 是莫比烏斯函式 (Wagon 1991, p. 29)。對於小的 n（對於 n<10^9，係數為 10）來說，更好的近似是格拉姆級數。

素數定理等價於以下任一形式

lim_(x->infty)(theta(x))/x=1
(20)

或

lim_(x->infty)(psi(x))/x=1,
(21)

其中 theta(x) 和 psi(x) 是切比雪夫函式。切比雪夫 (Chebyshev) 表明，這些表示式的唯一可能極限是 1，但無法證明極限的存在 (Hardy 1999, p. 28)。

黎曼猜想等價於以下斷言

|Li(x)-pi(x)|<=csqrt(x)lnx
(22)

對於某個 c 值 (Ingham 1990, p. 83; Landau 1974, pp. 378-388; Ball and Coxeter 1987; Hardy 1999, p. 26)，正如 Koch 在 1901 年所證明的那樣 (Havil 2003, p. 205)。在不假設黎曼猜想的情況下獲得的一些極限是

pi(x)=Li(x)+O[xe^(-(lnx)^(1/2)/15)]
(23)
pi(x)=Li(x)+O[xe^(-0.009(lnx)^(3/5)/(lnlnx)^(1/5))].
(24)

另請參閱

伯特蘭公設, 切比雪夫函式, 切比雪夫定理, 狄利克雷定理, 格拉姆級數, 素數計數函式, 黎曼函式, 塞爾伯格公式, 斯庫斯數 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

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請引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "素數定理。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PrimeNumberTheorem.html

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