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切比雪夫函式

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以下定義的兩個函式 theta(x) 和 psi(x) 被稱為切比雪夫函式。

ChebyshevFunctionTheta

函式 theta(x) 的定義如下

theta(x)=sum_(k=1)^(pi(x))lnp_k
(1)
=ln[product_(k=1)^(pi(x))p_k]
(2)
=lnx#
(3)

(Hardy 和 Wright 1979, 第 340 頁), 其中 p_k 是第 k 個 素數, pi(x) 是 素數計數函式, 並且 x# 是 素數階乘。 此函式具有極限

lim_(x->infty)x/(theta(x))=1
(4)

以及漸近行為

theta(n)∼n
(5)

(Bach 和 Shallit 1996; Hardy 1999, 第 28 頁; Havil 2003, 第 184 頁)。 符號 theta(n) 也常用於此函式 (Hardy 1999, 第 27 頁)。

ChebyshevFunctionPsi

相關的函式 psi(x) 的定義如下

psi(x)=sum_(p^nu<=x)lnp
(6)
=sum_(n<=x)Lambda(n),
(7)

其中 Lambda(n) 是 曼戈爾特函式 (Hardy 和 Wright 1979, 第 340 頁; Edwards 2001, 第 51 頁)。 這裡，總和遍歷所有素數 p 和正整數 nu 使得 p^nu<=x，因此可能多次包含某些素數。 psi(x) 的一個簡單而優美的公式由下式給出

psi(x)=ln[LCM(1,2,3,...,|_x_|)],
(8)

即，從 1 到 n 的數字的 最小公倍數 的對數 (更正了 Havil 2003, 第 184 頁)。 LCM(1,2,...,n) 對於 n=1, 2, ... 的值是 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, ... (OEIS A003418; Selmer 1976)。 例如，

psi(10)=ln2520=3ln2+2ln3+ln5+ln7.
(9)

該函式也具有漸近行為

psi(x)∼x
(10)

(Hardy 1999, 第 27 頁; Havil 2003, 第 184 頁)。

這兩個函式透過以下公式相關

psi(x)=sum_(k=1)^(|_log_2x_|)theta(x^(1/k))
(11)

(Havil 2003, 第 184 頁)。

切比雪夫證明了 pi(x)/(x/lnx), theta(x)/x, 和 psi(x)/x∼1 (Ingham 1995; Havil 2003, 第 184-185 頁)。

根據 Hardy (1999, 第 27 頁) 的說法，函式 theta(n) 和 psi(n) 在某些方面比 素數計數函式 pi(x) 更自然，因為它們處理素數的乘法而不是計數。

另請參閱

曼戈爾特函式, 素數計數函式, 素數定理, 素數階乘

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參考文獻

Bach, E. 和 Shallit, J. 演算法數論，第 1 卷：高效演算法。 Cambridge, MA: MIT Press, pp. 206 和 233, 1996.Chebyshev, P. L. "關於素數的備忘錄。" J. math. pures appl. 17, 366-390, 1852.Costa Pereira, N. "切比雪夫函式 psi(x)-theta(x) 的估計。" Math. Comput. 44, 211-221, 1985.Costa Pereira, N. "勘誤：切比雪夫函式 psi(x)-theta(x) 的估計。" Math. Comput. 48, 447, 1987.Costa Pereira, N. "切比雪夫函式 psi(x) 和莫比烏斯函式 M(x) 的基本估計。" Acta Arith. 52, 307-337, 1989.Dusart, P. "關於 psi(X), theta(X), pi(X) 和素數的顯式不等式。" C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canad 21, 53-59, 1999.Edwards, H. M. 黎曼 Zeta 函式。 New York: Dover, 2001.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於其生平和工作啟發的十二次講座，第 3 版。 New York: Chelsea, p. 27, 1999.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. "函式 theta(x) 和 psi(x)" 和 "證明 theta(x) 和 psi(x) 是 x 階的。" §22.1-22.2 in 數論導論，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 340-342, 1979.Havil, J. "帶著一些好想法進入切比雪夫。" §15.11 in 伽瑪：探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 183-186, 2003.Ingham, A. E. 素數分佈。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1995.Nagell, T. 數論入門。 New York: Wiley, p. 60, 1951.Panaitopol, L. "關於 pi(x) 的幾種近似。" Math. Ineq. Appl. 2, 317-324, 1999.Robin, G. "關於第 k 個素數以及函式 omega(n) (即 n 的素數除數的數量) 的大值上切比雪夫函式 theta 的估計。" Acta Arith. 42, 367-389, 1983.Rosser, J. B. 和 Schoenfeld, L. "切比雪夫函式 theta(x) 和 psi(x) 的更精確界限。" Math. Comput. 29, 243-269, 1975.Schoenfeld, L. "切比雪夫函式 theta(x) 和 psi(x) 的更精確界限，II。" Math. Comput. 30, 337-360, 1976.Selmer, E. S. "關於二項式係數的素數除數的數量。" Math. Scand. 39, 271-281, 1976.Sloane, N. J. A. 整數序列線上百科全書 中的序列 A003418/M1590。

在 中引用

切比雪夫函式

請按如下方式引用

Weisstein, Eric W. “切比雪夫函式。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ChebyshevFunctions.html

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