芒戈爾特函式

芒戈爾特函式是由以下定義的函式

(1)

有時也稱為 lambda 函式。 具有顯式表示

(2)

其中 表示 最小公倍數。 上圖繪製了 對於 , 2, ... 的前幾個值，它們是 1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, ... (OEIS A014963)。

芒戈爾特函式在 Wolfram 語言中實現為MangoldtLambda[n]。

它滿足除數和

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其中 是 莫比烏斯函式 (Hardy and Wright 1979, p. 254)。

芒戈爾特函式與黎曼 zeta 函式 相關，關係如下

(7)

其中 (Hardy 1999, p. 28; Krantz 1999, p. 161; Edwards 2001, p. 50)。

總和芒戈爾特函式（如上圖所示）定義為

(8)

其中 是芒戈爾特函式，也稱為第二切比雪夫函式 (Edwards 2001, p. 51)。 由所謂的顯式公式給出

(9)

對於 且 不是素數或素數冪 (Edwards 2001, pp. 49, 51, 和 53)，且求和是對黎曼 zeta 函式 的所有非平凡零點 進行的，即那些在臨界帶中的零點，使得 (Montgomery 2001)，並解釋為

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瓦萊-普桑版本的素數定理指出

(11)

對於某個 (Davenport 1980, Vardi 1991)。 素數定理等價於以下陳述

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當 時 (Dusart 1999)。

馮·芒戈爾特在黎曼論文發表 30 年後證明了他的公式，黎曼的論文包含一個相關的公式，啟發了馮·芒戈爾特的公式。馮·芒戈爾特的公式隨後被用於證明等價形式的素數定理

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黎曼猜想等價於

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(Davenport 1980, p. 114; Vardi 1991)。

Vardi (1991, p. 155) 還給出了有趣的公式

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其中 是向下取整函式， 是階乘。