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莫比烏斯函式

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MobiusFunction

莫比烏斯函式是一個由下式定義的數論函式

mu(n)={0 if n has one or more repeated prime factors; 1 if n=1; (-1)^k if n is a product of k distinct primes,
(1)

因此 mu(n)!=0 表示 n 是 無平方數 (Havil 2003, p. 208)。 mu(n) 的前幾個值因此是 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, ... (OEIS A008683)。 類似地，|mu(n)| 對於 n=1, 2, ... 的前幾個值是 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, ... (OEIS A008966)。

這個函式由 Möbius (1832) 引入，符號 mu(n) 最初由 Mertens (1874) 使用。 然而，高斯在 Möbius 之前 30 多年就考慮了莫比烏斯函式，他寫道：“所有 原根 [對於素數 p] 的和要麼是 =0 (當 p-1 可被平方數整除時)，要麼是 =+/-1 (mod p) (當 p-1 是不同素數的乘積時；如果這些素數的數量是偶數，則符號為正，但如果數量是奇數，則符號為負)” (Gauss 1801, Pegg 2003)。

莫比烏斯函式在 Wolfram 語言 中實現為MoebiusMu[n]。

莫比烏斯函式的求和函式

M(x)=sum_(n<=x)mu(n)
(2)

稱為 梅滕斯函式。

MoebiusMuDensityPlot

下表給出了 n 對於 mu(n)=-1、0 和 1 的前幾個值。 前 10^4 個整數的值在上面的 100×100 網格上繪製，其中 n 的值為 mu(n)=-1 的顯示為紅色，mu(n)=0 的顯示為黑色，mu(n)=1 的顯示為藍色。 當數字的倍數各自共享一個或多個重複因子時，會出現清晰的模式。

mu(n)OEISn 的值
-1A0300592, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, ...
0A0139294, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, ...
1A0302291, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, ...

莫比烏斯函式具有生成函式

sum_(n=1)^infty(mu(n))/(n^s)=1/(zeta(s))
(3)

對於 R[s]>1 (Nagell 1951, p. 130)。 這個乘積是透過取 尤拉乘積 的倒數並展開各項得到的

1/(zeta(s))=product_(k=1)^(infty)(1-1/(p_k^s))
(4)
=(1-1/(p_1^s))(1-1/(p_2^s))(1-1/(p_3^s))...
(5)
=1-(1/(p_1^s)+1/(p_2^s)+1/(p_3^s)+...)+(1/(p_1^sp_2^s)+1/(p_1^sp_3^s)+...+1/(p_2^sp_3^s)+1/(p_2^sp_4^s)+...)-...
(6)
=1-sum_(0<i)1/(p_i^s)+sum_(0<i<j)1/(p_i^sp_j^s)-sum_(0<i<j<k)1/(p_i^sp_j^sp_k^s)+...
(7)
=sum_(n=1)^(infty)(mu(n))/(n^s)
(8)

(Derbyshire 2004, pp. 245-249)。

另一個生成函式由下式給出

sum_(n=1)^infty(mu(n)x^n)/(1-x^n)=x
(9)

對於 |x|<1。 它也服從無窮和

sum_(n=1)^(infty)(mu(n))/n=0
(10)
sum_(n=1)^(infty)(mu(n)lnn)/n=-1
(11)
sum_(n=1)^(infty)(|mu(n)|)/(n^2)=(15)/(pi^2)=1.51981775...
(12)
sum_(n=1)^(infty)(chi_({n:mu(n)=-1}))/(n^2)=9/(2pi^2)=0.45594532...
(13)
sum_(n=1)^(infty)(chi_({n:mu(n)=1}))/(n^2)=(21)/(2pi^2)=1.06387242...
(14)

(OEIS A082020, A088245, 和 A088245; Havil 2003, p. 208)，以及除數和

sum_(d|n)|mu(d)|=2^(omega(n)),
(15)

其中 omega(n) 是 n 的不同素因子的數量 (Hardy and Wright 1979, p. 235)。

mu(n) 也滿足無窮乘積

product_(n=1)^infty(1-x^n)^(mu(n)/n)=e^(-x)
(16)

對於 |x|<1 (Bellman 1943; Buck 1944;, Pólya and Szegö 1976, p. 126; Robbins 1999)。 方程 (◇) 與 素數定理 一樣“深刻” (Landau 1909, pp. 567-574; Landau 1911; Hardy 1999, p. 24)。

莫比烏斯函式是積性函式，

mu(mn)={mu(m)mu(n) if (m,n)=1; 0 if (m,n)>1,
(17)

並滿足

sum_(d|n)mu(d)=delta_(n1),
(18)

其中 delta_(ij) 是 克羅內克δ，以及

sum_(d)mu(d)sigma_0(n/d)=1,
(19)

其中 sigma_0(n) 是除數的數量 (即，零階除數函式；Nagell 1951, p. 281)。

參見

布勞恩猜想, 狄利克雷生成函式, 梅滕斯函式, 莫比烏斯反演公式, 莫比烏斯週期函式, 莫比烏斯變換, 素數 Zeta 函式, 黎曼函式, 無平方數

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/MoebiusMu/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "The Möbius Function." §24.3.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 826, 1972.Bellman, R. "Problem 4072." Amer. Math. Monthly 50, 124-125, 1943.Buck, R. C. "Solution to Problem 4072." Amer. Math. Monthly 51, 410, 1944.Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, pp. 245-250, 2004.Gauss, C. F. §81 in Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig, Germany, 1801. Translated by A. A. Clarke. New Haven, CT: Yale University Press, 1965.Hardy, G. H. "A Note on the Möbius Function." §4.9 in Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, pp. 64-65, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford: Clarendon Press, p. 236, 1979.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Landau, E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Leipzig, Germany: Teubner, 1909.Landau, E. Prac. Matematyczno-Fizycznych 21, 97-177, 1910.Landau, E. Wiener Sitzungsber. 120, 973-988, 1911.Mertens, F. "Über einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie." J. reine angew. Math. 77, 46-62, 1874.Miller, J. "Earliest Uses of Symbols of Number Theory." http://members.aol.com/jeff570/nth.html.Möbius, A. F. "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen." J. reine angew. Math. 9, 105-123, 1832.Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, p. 27, 1951.Pegg, E. Jr. "Math Games: The Möbius Function (and Squarefree Numbers)." Nov. 3, 2003. http://www.maa.org/editorial/mathgames_11_03_03.html.Pólya, G. and Szegö, G. Problems and Theorems in Analysis, Vol. 2. New York: Springer-Verlag, 1976.Robbins, N. "Some Identities Connecting Partition Functions to Other Number Theoretic Functions." Rocky Mtn. J. Math. 29, 335-345, 1999.Rota, G.-C. "On the Foundations of Combinatorial Theory I. Theory of Möbius Functions." Z. für Wahrscheinlichkeitsth. 2, 340-368, 1964.Séroul, R. "The Moebius Function." §2.12 and 8.5 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 19-21 and 167-169, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A008683, A008966, A013929, A030059, A030229, A082020, A88245, and A88246 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Redwood City, CA: Addison-Wesley, pp. 7-8 and 223-225, 1991.Wilf, H. Generatingfunctionology, 2nd ed. New York: Academic Press, p. 61, 1994.

在 上被引用

莫比烏斯函式

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "莫比烏斯函式。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/MoebiusFunction.html

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