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尤拉乘積

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對於 s>1, 黎曼 zeta 函式由下式給出

zeta(s)=sum_(n=1)^(infty)1/(n^s)
(1)
=product_(k=1)^(infty)1/(1-1/(p_k^s)),
(2)

其中 p_k 是第 k 個素數。這是尤拉乘積 (Whittaker and Watson 1990)，Havil (2003, p. 61) 稱之為“最重要的公式”，Derbyshire (2004, pp. 104-106) 稱之為“金鑰匙”。

這可以透過展開乘積、將每一項寫成幾何級數、展開、相乘和重新排列項來證明，

product_(k=1)^infty1/(1-1/(p_k^s))=1/(1-1/(p_1^s))1/(1-1/(p_2^s))1/(1-1/(p_3^s))... =[sum_(k=0)^infty(1/(p_1^s))^k][sum_(k=0)^infty(1/(p_2^s))^k][sum_(k=0)^infty(1/(p_3^s))^k]... =(1+1/(p_1^s)+1/(p_1^(2s))+1/(p_1^(3s))+...)(1+1/(p_2^s)+1/(p_2^(2s))+1/(p_2^(3s))+...)... =1+sum_(1<=i)1/(p_i^s)+sum_(1<=i<=j)1/(p_i^sp_j^s)+sum_(1<=i<=j<=k)1/(p_i^sp_j^sp_k^s)+... =1+1/(2^s)+1/(3^s)+1/(4^s)+1/(5^s)+... =sum_(n=1)^infty1/(n^s) =zeta(s).
(3)

這裡，導致公式 (1) 的重排來自於算術基本定理，因為每個素數冪的乘積恰好在一個分母中出現，並且每個正整數等於恰好一個素數冪的乘積。

此乘積透過以下方式與 莫比烏斯函式 mu(n) 相關

1/(zeta(s))=sum_(n=1)^infty(mu(n))/(n^s),
(4)

這可以透過展開乘積來獲得

1/(zeta(s))=product_(k=1)^(infty)(1-1/(p_k^s))
(5)
=(1-1/(p_1^s))(1-1/(p_2^s))(1-1/(p_3^s))...
(6)
=1-(1/(p_1^s)+1/(p_2^s)+1/(p_3^s)+...)+(1/(p_1^sp_2^s)+...+1/(p_1^sp_3^s)+1/(p_2^sp_3^s)+...)-...
(7)
=1-sum_(0<i)1/(p_i^s)+sum_(0<i<j)1/(p_i^sp_j^s)-sum_(0<i<j<k)1/(p_i^sp_j^sp_k^s)+...
(8)
=sum_(n=1)^(infty)(mu(n))/(n^s).
(9)

zeta(1)=infty, 但有限乘積存在，給出

P(n)=product_(k=1)^n1/(1-1/(p_k)).
(10)

對於上限 n=0, 1, 2, ..., 乘積由 1, 2, 3, 15/4, 35/8, 77/16, 1001/192, 17017/3072, ... (OEIS A060753 和 A038110) 給出。 前乘以 1/lnp_n 並令 n->infty 得到一個被稱為 Mertens 定理的美麗結果。

尤拉乘積在朗·霍華德 2001 年的電影美麗心靈中約翰·納什（羅素·克勞飾演）的黑板塗鴉中短暫出現。

另請參閱

戴德金函式, 狄利克雷 L 級數, 尤拉-馬歇羅尼常數, 無窮乘積, Mertens 定理, 素數乘積, 黎曼 Zeta 函式, Stieltjes 常數

此條目部分內容由 Jonathan Sondow (作者連結) 貢獻

使用 探索

參考文獻

Derbyshire, J. 素數 Obsession：伯恩哈德·黎曼與數學中最偉大的未解問題。 New York: Penguin, 2004.Edwards, H. M. "尤拉乘積公式。" §1.2 in 黎曼的 Zeta 函式。 New York: Dover, pp. 6-7, 2001.Euler, L. "Variae observationes circa series infinitas." St. Petersburg Acad., 1737.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "Zeta 函式。" §17.2 in 數論導論，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 245-247, 1979.Havil, J. "最重要的公式。" §7.1 in Gamma：探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 61-62, 2003.Ribenboim, P. 素數記錄新書，第 3 版。 New York: Springer-Verlag, p. 216, 1996.Shimura, G. 尤拉乘積與艾森斯坦級數。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997.Sloane, N. J. A. 序列 A038110 和 A060753 in "整數序列線上百科全書"。Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "zeta(s) 的尤拉乘積。" §13.3 in 現代分析教程，第 4 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 271-272, 1990.

在 中被引用

尤拉乘積

請引用為

Sondow, Jonathan 和 Weisstein, Eric W. "尤拉乘積。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/EulerProduct.html

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