素數乘積

素數的乘積

(1)

其中 為第 個素數，被稱為原始階乘函式，類似於階乘函式。它的對數與切比雪夫函式 密切相關。

所有素數的zeta 正則化乘積由下式給出

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(Muñoz Garcia 和 Pérez-Marco 2003, 2008)，回答了 Soulé等人 (1992, p. 101) 提出的問題。推導過程透過素數 zeta 函式的代數運算得出，並給出了更一般的結果

(4)

和

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(Muñoz Garcia 和 Pérez-Marco 2003)。

梅爾滕斯定理指出

(6)

其中 是尤拉-馬歇羅尼常數，一個密切相關的結果由下式給出

(7)

存在令人驚歎的素數無窮乘積公式，由下式給出

(8)

(Ramanujan 1913-1914; Le Lionnais 1983, p. 46) 和

(9)

(OEIS A082020; Ramanujan 1913-1914)。

更一般的公式由下式給出

(10)

其中 是黎曼 zeta 函式，並透過尤拉乘積

(11)

命名的素數乘積包括 Barban's 常數

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(OEIS A175640), Feller-Tornier 常數

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(OEIS A065493), Heath-Brown-Moroz 常數

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(OEIS A118228), Murata's 常數

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(OEIS A065485), 二次類數常數

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(OEIS A065465), Sarnak's 常數

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(OEIS A065476), 和 Taniguchi's 常數

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(OEIS A175639), 其中乘積是對素數 取的。

定義數論特徵 為

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則

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(OEIS A060294; Oakes 2003)。類似地，

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(Oakes 2004)。這等價於尤拉的公式

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(Blatner 1997)。

設 為連續數 的數量，其中 使得 和 都是無平方數。則 的漸近線由下式給出

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(OEIS A065474), 其中 是第 個素數。