素數 Zeta 函式

素數 zeta 函式

其中求和針對 素數，是 黎曼 zeta 函式 的推廣

其中求和針對所有正整數。換句話說，素數 zeta 函式 在正實軸上方示出，其中虛部用黃色表示，實部用紅色表示。（與 Fröberg 圖中出現的符號差異可能是由於 使用了不同的約定所致。）

對於此函式使用了各種術語和符號。術語“素數 zeta 函式”和符號 由 Fröberg (1968) 使用，而 Cohen (2000) 使用符號 。

當 時，該級數絕對收斂，其中 ，可以解析延拓到條帶 (Fröberg 1968)，但由於 黎曼 zeta 函式 在 臨界線 上的非平凡零點導致奇點沿 虛軸 聚集，因此無法延拓到直線 之外 (Landau and Walfisz 1920, Fröberg 1968)。

如上左圖所示（其中 實部 用紅色表示，虛部 用黃色表示），該函式在實軸上對於 具有奇點，其中 遍歷所有無平方因子的正整數。對於 接近 1， 具有以下展開式

其中 且

(OEIS A143524)，其中 是 莫比烏斯函式，而 是 黎曼 zeta 函式 (Fröberg 1968)。

素數 zeta 函式在上面針對 和 繪製 (Fröberg 1968)。

素數 zeta 函式在上面在複平面中示出。

素數 zeta 函式可以用 黎曼 zeta 函式 表示為

反轉後得到

(Glaisher 1891, Fröberg 1968, Cohen 2000)。

素數 zeta 函式在 Wolfram 語言 中實現為PrimeZetaP[s]。

合數 的 狄利克雷生成函式 由下式給出

，調和級數 的類似物，發散，但對於 的級數收斂是二次的。然而，從 的和中刪除初始項（並將 尤拉-馬歇羅尼常數 新增到結果中）得到簡單的 梅爾滕斯常數

(OEIS A077761)。

阿廷常數 與 透過下式關聯

其中 是 盧卡斯數 (Ribenboim 1998, Gourdon and Sebah)。

下表給出了前幾個整數 （從 2 開始）的 值。Merrifield (1881) 計算了 在 高達 35 位到 15 位數字的值，Liénard (1948) 計算了 在高達 位到 50 位數字的值 (Ribenboim 1996)。Gourdon 和 Sebah 給出了 高達 60 位數字的值。

根據 Fröberg (1968) 的說法，關於根 知之甚少。上面的圖顯示了複平面一部分中零點的位置（左圖）以及零實部（紅色）和虛部（藍色）的等值線，根以黑點表示（右圖）。