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阿廷常數

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設 n 為正的非平方整數。然後阿廷推測，對於 集合 S(n) 中所有的 素數，n 是一個 原根，這樣的素數有無窮多個。在 廣義黎曼猜想 的假設下，Hooley (1967; Finch 2003, p. 105) 解決了阿廷猜想。

設 n 不是任何 r 次 冪，對於任何 r>1，使得 無平方因子 部分 n^' 的 n 滿足 n^'≢1 (mod 4)。設 S^'(n) 為所有素數的集合，對於這些素數，這樣的 n 是一個 原根。然後阿廷還推測，S^'(n) 相對於 素數 的密度與 n 的選擇無關，由 C_(Artin) 給出，其中

C_(Artin)=product_(k=1)^infty[1-1/(p_k(p_k-1))]=0.3739558136...
(1)

(OEIS A005596), 並且 p_k 是第 k 個 素數。

阿廷常數的重要性透過將其描述為 素數 p 的分數更容易理解，對於這些素數，1/p 具有最大週期 迴圈小數，即 p 是一個 全迴圈素數 (Conway and Guy 1996) 對應於一個 迴圈數。

C_(Artin) 與 素數 Zeta 函式 P(n) 相關聯，關係如下：

lnC_(Artin)=-sum_(n=2)^infty((L_n-1)P(n))/n,
(2)

其中 L_n 是一個 盧卡斯數 (Ribenboim 1998, Gourdon and Sebah)。Wrench (1961) 給出了 C_(Artin) 的 45 位數字，Gourdon 和 Sebah 給出了 60 位。

如果 n^'=1 (mod 4) 且 n 仍然被限制為不是 r 次冪，那麼密度不是 C_(Artin) 本身，而是它的一個有理倍數。在這種情況下，計算密度的顯式公式被推測為

C_(Artin)^'=[1-mu(n^')product_(prime q; q|n^('))1/(q^2-q-1)]C_(Artin)
(3)

(Matthews 1976, Finch 2003)，其中 mu(n) 是 莫比烏斯函式。特殊情況可以針對 n^'=p 為 素數 的情況顯式寫出：

C_(Artin)^'=(1+1/(p^2-p-1))C_(Artin),
(4)

或 n^'=pq，其中 p,q 都是 素數，且 u,v=1 (mod 4)，

C_(Artin)^'=(1+1/(p^2-p-1)1/(q^2-q-1))C_(Artin),
(5)

如果 n 是一個完全立方數（但不是完全平方數），一個完全五次方數（但不是完全平方數或完全立方數）等等，則適用其他公式 (Hooley 1967, Western and Miller 1968)。

另請參閱

阿廷猜想, 巴爾班常數, 迴圈數, 十進位制展開, 費勒-託尼爾常數, 全迴圈素數, 希思-布朗-莫羅茲常數, 村田常數, 素數乘積, 原根, 二次類數常數, 薩納克常數, 斯蒂芬斯常數, 谷口常數, 孿生素數常數

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參考文獻

Artin, E. Collected Papers (Ed. S. Lang and J. T. Tate). New York: Springer-Verlag, pp. viii-ix, 1965.Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, p. 169, 1996.Finch, S. R. "Artin's Constant." §2.4 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 104-110, 2003.Gourdon, X. and Sebah, P. "Some Constants from Number Theory." http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/constantsNumTheory.html.Hooley, C. "On Artin's Conjecture." J. reine angew. Math. 225, 209-220, 1967.Hooley, C. Applications of Sieve Methods to the Theory of Numbers. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1976.Ireland, K. and Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1990.Lehmer, D. H. and Lehmer, E. "Heuristics Anyone?" In Studies in Mathematical Analysis and Related Topics: Essays in Honor of George Pólya (Ed. G. Szegö, C. Loewner, S. Bergman, M. M. Schiffer, J. Neyman, D. Gilbarg, and H. Solomon). Stanford, CA: Stanford University Press, pp. 202-210, 1962.Lenstra, H. W. Jr. "On Artin's Conjecture and Euclid's Algorithm in Global Fields." Invent. Math. 42, 201-224, 1977.Matthews, K. R. "A Generalization of Artin's Conjecture for Primitive Roots." Acta Arith. 29, 113-146, 1976.Ram Murty, M. "Artin's Conjecture for Primitive Roots." Math. Intell. 10, 59-67, 1988.Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, 1996.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 80-83, 1993.Sloane, N. J. A. Sequence A005596/M2608 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Western, A. E. and Miller, J. C. P. Tables of Indices and Primitive Roots. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. xxxvii-xlii, 1968.Wrench, J. W. "Evaluation of Artin's Constant and the Twin Prime Constant." Math. Comput. 15, 396-398, 1961.

在 中被引用

阿廷常數

請引用為

Weisstein, Eric W. "阿廷常數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ArtinsConstant.html

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