十進位制展開

一個數的十進位制展開是它在 十 進位制（即，十進位制 系統）中的表示。在這個系統中，每個“小數位”由數字 0-9 組成，這些數字的排列方式是每個數字都乘以 10 的冪，從左到右遞減，並且用小數點指示 位。例如，十進位制展開為 1234.56 的數字定義為

			(1)
			(2)

以這種形式 書寫的表示式（其中允許如上例所示的負數 ，但在初等教育環境中通常不考慮）被稱為處於 展開記數法 中。

其他例子包括 的十進位制展開為 625， 的十進位制展開為 3.14159...，以及 的十進位制展開為 0.1111...。一個數的十進位制展開可以在 Wolfram 語言 中使用以下命令找到RealDigits[n]，或等價地，RealDigits[n, 10]。

一個數的十進位制展開可能終止（在這種情況下，該數被稱為 正規數 或有限小數，例如，），最終變成周期性的（在這種情況下，該數被稱為 迴圈小數，例如，），或者無限地繼續而不重複（在這種情況下，該數被稱為 無理數）。

下表總結了前幾個 單位分數 的十進位制展開。通常，十進位制展開的迴圈部分通常用 連線 表示。

分數	十進位制展開	分數	十進位制展開
1	1
	0.5
	0.25
	0.2
			0.0625
	0.125
	0.1		0.05

如果 具有有限十進位制展開（即， 是一個 正規數），那麼

			(3)
			(4)
			(5)

分解 可能的公倍數得到

(6)

其中 (mod 2, 5)。因此，具有有限十進位制展開的數是這種形式的分數。前幾個正規數是 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, ... (OEIS A003592)。

任何非正規分數 都是週期性的，並且具有一個與 無關的 十進位制週期 ，該週期最多為 位數字 長。如果 與 10 互質，則 的週期 是 的一個約數，並且最多有 位數字，其中 是 尤拉總計函式。結果表明， 是 10 對 (mod ) 的 乘法階 (Glaisher 1878, Lehmer 1941)。一個 有理數 的十進位制展開的迴圈部分的位數也可以直接從其 分母 的 乘法階 中找到。

當一個 且 的有理數被展開時，週期在 項之後開始，長度為 ，其中 和 是滿足以下條件的最小數字

(7)

當 (mod 2, 5) 時，，這變成了一個純迴圈小數，其

(8)

作為一個例子，考慮 。

(9)

因此 ，。十進位制表示為 。當分數 的 分母 具有 的形式，其中 ，則週期在 項之後開始，並且週期的長度是 10 所屬的指數 (mod )，即，數字 使得 。如果 是 素數 並且 是 偶數，那麼將重複的 數字 分成相等的兩半並相加得到所有 9。例如，，並且 。對於 素數 分母 不是 2 或 5 的 ，所有迴圈 具有相同的長度 (Conway and Guy 1996)。

如果 是一個 素數 且 10 是 的 原根，則迴圈小數 的週期 由下式給出

(10)

其中 是 尤拉總計函式。此外，對於 ，其中 , 2, ..., 的十進位制展開具有 的週期長度，並且僅透過迴圈排列而不同。這樣的數字 被稱為 全迴圈素數。

要找到具有短週期的 分母，請注意

			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)
			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
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分母等於上面 素數 因子 的分數的 十進位制週期 因此是該因子首次出現的 10 的 冪。例如，37 出現在 和 的因式分解中，因此其週期為 3。將任何 因子 乘以 仍然給出與單獨 因子 相同的週期。透過兩個 因子 的乘法獲得的 分母 的週期等於兩個 因子 都出現的 10 的第一個 冪。下表給出了具有小週期的 素數 (OEIS A007138, A046107, 和 A046108; Ogilvy and Anderson 1988)。

下表列出了除特殊 之外的小 素數 的週期 ，對於 ，十進位制展開不是週期性的 (OEIS A002371)。

3	1	31	15	67	33
7	6	37	3	71	35
11	2	41	5	73	8
13	6	43	21	79	13
17	16	47	46	83	41
19	18	53	13	89	44
23	22	59	58	97	96
29	28	61	60	101	4

Shanks (1873ab) 計算了所有高達 的 素數 的週期，並公佈了高達 的週期。