乘法階

設 是一個有原根的正數。如果 是 的一個原根，那麼數字 1, , , ..., 形成模 的一個簡化剩餘系，其中 是尤拉函式。在這個集合中，有 個原根，這些數字是 ，其中 與 互質。

使得 成立的最小指數 ，其中 和 是給定的數字，被稱為 的乘法階（有時也稱為主指數或模階）(mod )。

乘法階在 Wolfram 語言中實現為MultiplicativeOrder[g, n].

具有乘法階 的基數的數量是 ，其中 是尤拉函式。Cunningham (1922) 發表了素數到 25409 以及基數 2、3、5、6、7、10、11 和 12 的乘法階。

乘法階對於與 互質的 存在。例如，10 (mod 7) 的乘法階是 6，因為

(1)

10 模一個與 10 互質的整數 的乘法階給出了 的倒數的十進位制展開的週期 (Glaisher 1878, Lehmer 1941)。例如，10 (mod 13) 的主指數是 6，並且

(2)

其週期為 6。

下表給出了基數 (mod ) 的前幾個乘法階，其中 是與 互質的數字序列。

	OEIS	主指數
2	A002326	2, 4, 3, 6, 10, 12, 4, 8, 18, 6, 11, 20, 18, ...
3	A050975	1, 2, 4, 6, 2, 4, 5, 3, 6, 4, 16, 18, 4, 5, ...
4	A050976	1, 2, 3, 3, 5, 6, 2, 4, 9, 3, 11, 10, 9, 14, ...
5	A050977	1, 2, 1, 2, 6, 2, 6, 5, 2, 4, 6, 4, 16, 6, 9, ...
6	A050978	1, 2, 10, 12, 16, 9, 11, 5, 14, ...
7	A050979	1, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 10, 2, 12, 4, 2, 16, ...
8	A050980	2, 4, 1, 2, 10, 4, 4, 8, 6, 2, 11, 20, 6, 28, ...
9	A050981	1, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 3, 3, 2, 8, 9, 2, 5, 11, ...
10	A002329	1, 6, 1, 2, 6, 16, 18, 6, 22, 3, 28, ...

如果 是一個與 互質的任意整數，那麼在數字 0, 1, 2, ..., 中，恰好存在一個數字 使得

(3)

數字 然後被稱為 相對於基數 模 的廣義乘法階（或離散對數；Schneier 1996, p. 501）。請注意，Nagell (1951, p. 112) 使用術語“指標”並寫道

(4)

例如，數字 7 是 的最小正原根，並且由於 ，數字 15 相對於基數 7（模 41）的乘法階為 3 (Nagell 1951, p. 112)。

廣義乘法階在 Wolfram 語言中實現為MultiplicativeOrder[g, n, a1], 或更一般地，MultiplicativeOrder[g, n, a1, a2, ...].

如果選擇原根 和 ，則得到的函式稱為子階函式，並表示為 。如果選擇單個原根 ，則該函式簡化為“the”（即，非廣義）乘法階，表示為 ，在 Wolfram 語言中實現為MultiplicativeOrder[a, n]。此函式有時也稱為離散對數（或者，更令人困惑的是，“指標”，Nagell 將該術語應用於一般 的情況）。