主題
Search

卡邁克爾函式

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram 筆記本

卡邁克爾函式有兩種定義。一種是縮減的尤拉函式（也稱為最小通用指數函式），定義為最小整數 lambda(n)，使得對於所有與 n 互質的 k，k^(lambda(n))=1 (mod n)。乘法階 a (mod n) 最多為 lambda(n) (Ribenboim 1989)。此函式的前幾個值，實現為CarmichaelLambda[n]，是 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, ... (OEIS A002322)。

它由以下公式給出

lambda(n)=LCM[(p_i-1)p_i^(alpha_i-1)]_i,
(1)

其中 p_i^(alpha_i) 是素數冪。

它可以遞迴地定義為

lambda(n)={phi(n) for n=p^alpha, with p=2 and alpha<=2, or p>=3; 1/2phi(n) for n=2^alpha and alpha>=3; LCM[lambda(p_i^(alpha_i))]_i for n=product_(i)p_i^(alpha_i).
(2)

一些特殊值包括

lambda(2^n)={1 for n=1, n=2; 2 for n=2; 2^(n-2) otheriwse
(3)

和

lambda(n!)={1 for n=1, n=2; 2 for n=3; 4 for n=5; (n!)/(2n#) otherwise,
(4)

其中 n# 是素數階乘（S. M. Ruiz，私人通訊，2009 年 7 月 5 日）。

第二個卡邁克爾函式 lambda^'(n) 由 最小公倍數 (LCM) 給出，該最小公倍數是 尤拉函式 phi(n) 的所有因子的最小公倍數，但如果 8|n，則 因子為 2^(alpha-2)，而不是 2^(alpha-1)。lambda^'(n) 的前幾個 n 的值為 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 2, 12, ... (OEIS A011773)。

此函式具有特殊值

lambda^'(p^r)=phi(p^r)
(5)

對於奇素數 p 和 r>=1。

參見

模乘法群, 尤拉函式

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/CarmichaelLambda/

使用 探索

參考文獻

Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, p. 27, 1989.Riesel, H. "Carmichael's Function." Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 273-275, 1994.Sloane, N. J. A. Sequences A002322/M0298 and A011773 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Redwood City, CA: Addison-Wesley, p. 226, 1991.

在 中引用

卡邁克爾函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Carmichael Function." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CarmichaelFunction.html

主題分類