模乘法群

模乘法群是一個有限群 ，由與 互質的剩餘類在模 乘法下構成。 是阿貝爾群，群的階為 ，其中 是尤拉函式。

模乘法群可以透過構建其迴圈圖來視覺化。上面說明了一些低階模乘法群的迴圈圖。這些圖是透過繪製標記的節點來構建的，每個節點對應剩餘類的元素 ，並連線透過迭代 獲得的迴圈。這種圖的每條邊都是雙向的，但通常使用無向邊繪製，雙邊用於指示長度為 2 的迴圈（Shanks 1993，第 85 頁和 87-92 頁）。

下表給出了小階模乘法群，以及它們關於迴圈群 的同構。

是一個迴圈群（當且僅當 有原根時）當且僅當 是 , 4, , 或 的形式之一，其中 是一個奇素數，且 (Shanks 1993, p. 92)。其中前幾個是 , 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, ... (OEIS A033948; Shanks 1993, p. 84)。

元素均為自共軛的唯一有序 是 24 的除數：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (OEIS A018253; Eggar 2000)。這些對應於群 , , , 和 。這也意味著沒有模乘法群同構於超過三個 的副本的直積。

同構的模乘法群可以使用尤拉函式 的特定型別的分解來確定，使用以下性質：

如 Shanks (1993, pp. 92-93) 所述。為了執行此分解，首先類比於透過將 分解為標準形式來計算尤拉函式：

現在對於每個奇素數的冪，寫成：

並分解前導項：

為：

其中 表示 的顯式展開（即，），如果 ，則省略最後一項（因為在這種情況下，）。

如果 包含 2 的冪，使得 ，則寫成：

現在合併來自奇素數和偶素數的項，將它們寫成乘積，併合並任何明確的項的乘積。結果表示式表示為 ，群 同構於階數由 給出的迴圈群的直積。

例如，考慮階數為 的模乘法群。唯一的奇素數因子是 13，因此分解得到 。104 包含 的因子，因此偶素數因子的規則給出 。將這兩者結合起來得到 。

和 同構當且僅當 和 相同。更具體地說，對應於給定 的抽象群可以用群直積的迴圈群來顯式地確定，迴圈群的階數是所謂的特徵因子，其乘積表示為 。這種表示是從 獲得的，作為 的每個因子的最大冪的乘積的集合。例如，對於 ，2 的最大冪是 ，3 的最大冪是 ，因此第一個特徵因子是 ，剩下 （即，僅 2 的冪）。剩餘的最大冪是 ，因此第二個特徵因子是 2，剩下 2，這是第三個也是最後一個特徵因子。因此，，群 同構於 。

下表總結了前幾個 的同構模乘法群 ，並標識了相應的抽象群。沒有 同構於迴圈群 、四元群 或二面體群 。然而，每個有限阿貝爾群都同構於 的子群，對於無限多個不同的 值 (Shanks 1993, p. 96)。上面說明了小 的 的迴圈圖，Shanks (1993, pp. 87-92) 中說明了更復雜的迴圈圖。

下表給出了同構於迴圈群直積的模乘法群 的階數，對於 。

的特徵因子 的數量，對於 , 2, ... 是 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, ... (OEIS A046072)。

對於 ， 中的二次剩餘的數量由 給出 (Shanks 1993, p. 95)。對於 , 2, ... 前幾個是 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 5, 1, 6, ... (OEIS A046073)。

在下表中， 是分解為特徵因子的尤拉函式 (OEIS A000010)， 是卡邁克爾函式 (OEIS A011773)， 是群 的最小生成元（其數量等於特徵因子的數量）。