原根

素數 的原根是一個 整數 ，使得 (mod ) 的 乘法階 為 (Ribenboim 1996, p. 22)。更一般地，如果 ( 和 是 互素 的) 且 的 乘法階 為 模 ，其中 是 尤拉函式，那麼 是 的原根 (Burton 1989, p. 187)。第一個定義是第二個定義的特例，因為對於素數 ，。

數字 的一個原根 (但不一定是合數 的最小原根) 可以在 Wolfram 語言 中使用以下命令計算：PrimitiveRoot[n]。

如果 有原根，那麼它恰好有 個 (Burton 1989, p. 188)，這意味著如果 是一個 素數，那麼 恰好有 個模 不同餘的原根 (Burton 1989)。對於 , 2, ...， 的前幾個值是 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 4, 8, ... (OEIS A010554)。如果 是 以下形式 之一：2, 4, , 或 ，其中 是一個 奇素數 且 (Burton 1989, p. 204)，那麼 有原根。存在原根的 的前幾個值是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, ... (OEIS A033948)，因此，階為 的原根的數量，對於 , 2, ... 是 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 2, 2, 4, 0, 4, ... (OEIS A046144)。

前幾個素數 的最小原根是 1, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 6, 3, 5, 2, 2, 2, ... (OEIS A001918)。以下是前幾個存在原根的 的原根表 (OEIS A046147)。

2	1
3	2
4	3
5	2, 3
6	5
7	3, 5
9	2, 5
10	3, 7
11	2, 6, 7, 8
13	2, 6, 7, 11

, 2, ... 的最大原根是 0, 1, 2, 3, 3, 5, 5, 0, 5, 7, 8, 0, 11, ... (OEIS A046146)。下表 (OEIS A046145) 給出了前幾個 整數 的最小原根，省略了當 的原根 不存在時的情況。

設 為任意 奇素數 ，並設

(1)

那麼

(2)

(Ribenboim 1996, pp. 22-23)。對於有原根的數字 ，所有滿足 的 都可以表示為

(3)

其中 , 1, ..., ， 稱為指標， 是一個 整數。Kearnes (1984) 證明，對於任何 正整數 ，都存在無限多個 素數 使得

(4)

將最小原根稱為 。Burgess (1962) 證明了

(5)

對於 和 正 常數且 足夠大時成立 (Ribenboim 1996, p. 24)。

Matthews (1976) 獲得了“二維”阿廷常數的公式，用於 和 都是原根的素數集合。