一個 素數 
，其 
具有最大週期 小數展開，週期為 
數字。完全迴圈素數有時也稱為長素數（Conway 和 Guy 1996，第 157-163 頁和 166-171 頁）。完全迴圈素數和 費馬素數 之間存在著令人驚訝的聯絡。
一個素數 
是完全迴圈的 當且僅當 10 是模 
的 原根，這意味著
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(1)
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對於 
且沒有小於此值的 
。換句話說，
(mod 10) 的 乘法階 是 
。例如，7 是一個完全迴圈素數，因為 
。
完全迴圈素數有 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, ... (OEIS A001913)。這些數的前幾個 小數展開 是
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(2)
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(4)
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(5)
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這裡，數字 142857, 5882352941176470, 526315789473684210, ... (OEIS A004042) 對應於這些小數展開的週期部分，被稱為 迴圈數。目前還沒有找到完全迴圈素數的通用方法。
小於 
的完全迴圈素數的數量，對於 
, 2, ... 分別是 1, 9, 60, 467, 3617, ... (OEIS A086018)。
一個 必要 (但不是 充分) 條件是 
是完全迴圈素數，即數字 
(其中 
是一個 重複單位) 能被 
整除，這等價於 
能被 
整除。例如，使得 
能被 
整除的 
值由 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 37, ... (OEIS A104381) 給出。
阿廷推測，阿廷常數 
(OEIS A005596) 是 素數 
中，
具有最大小數週期的比例 (Conway 和 Guy 1996)。前幾個分數包括高達 
的素數，對於 
, 2, ... 分別是 1/4, 9/25, 5/14, 467/1229, 3617/9592, 14750/39249, ... (OEIS A103362 和 A103363)，如上圖所示，以及 
的值。D. Lehmer 將此猜想推廣到其他進位制，得到的值是 
的小有理倍數。
