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迴圈數

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迴圈數是一個 (n-1)-位數整數，當它被 1, 2, 3, ..., n-1 乘 時，會產生相同的數字，但順序不同。 迴圈數由完全迴圈素數生成，即 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, ... (OEIS A001913)。

給出前幾個迴圈數的十進位制展開式為

1/7=0.142857^_
(1)
1/(17)=0.0588235294117647^_
(2)
1/(19)=0.052631578947368421^_
(3)
1/(23)=0.0434782608695652173913^_
(4)

(OEIS A004042)。

CyclicNumberFraction

對於 n=0, 1, 2, ...，小於等於 <=10^n 的迴圈數的數量為 0, 1, 9, 60, 467, 3617, 25883, 248881, 2165288, 19016617, 170169241, ... (OEIS A086018)。 已經有人猜想，但尚未證明，存在無限個迴圈數。 事實上，在所有素數中，迴圈數的比例被猜想為 阿廷常數 C=0.3739558136...。 小於等於 <=10^(10) 的素數中，迴圈數的比例為 0.3739551。

當一個迴圈數乘以它的生成元時，結果是一串 9。 這是 米迪定理 的一個特例。

有關 <1370471 的素數的素數週期長度表，請參閱 Yates (1973)。

另請參閱

阿廷常數, 十進位制展開式, 完全迴圈素數, 米迪定理, 唯一素數

使用 探索

參考文獻

Gardner, M. "迴圈數。" 第 10 章，Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments from Scientific American. 紐約: Knopf, pp. 111-122, 1979.Guttman, S. "關於迴圈數。" Amer. Math. Monthly 44, 159-166, 1934.Kraitchik, M. "迴圈數。" §3.7，Mathematical Recreations. 紐約: W. W. Norton, pp. 75-76, 1942.Rao, K. S. "關於奇數的倒數的迴圈週期的註釋。" Amer. Math. Monthly 62, 484-487, 1955.Rivera, C. "問題 & 謎題：謎題 012 - 1/p 的週期長度。" http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_012.htm.Sloane, N. J. A. 序列 A001913/M4353, A004042, 和 A086018，來自 "整數序列線上百科全書"。Yates, S. 給定週期長度的素數。 特隆赫姆，挪威: Universitetsforlaget, 1973.

在 中被引用

迴圈數

請引用本文為

Eric W. Weisstein. "迴圈數。" 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/CyclicNumber.html

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