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有限群

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有限群是具有有限群階的群。有限群的例子包括模乘法群、點群、迴圈群、二面體群、對稱群、交錯群等等。

有限群的性質在 Wolfram 語言中實現為FiniteGroupData[group, prop]。

有限群分類定理指出，有限單群可以完全分類為五種型別之一。

FiniteGroups8

視覺化群的一種便捷方法是使用所謂的迴圈圖，它顯示了給定抽象群的迴圈結構。例如，上面說明了 8 階的 5 個非同構群的迴圈圖（Shanks 1993，第 85 頁）。

弗魯cht定理指出，每個有限群都是一個有限無向圖的圖自同構群。

有限（迴圈）群 C_2 是西北大學數學系無伴奏合唱團“克萊因四元群”幽默無伴奏合唱歌曲“有限單群（2 階）”的主題。

下表給出了小群階 h 的不同群的數量和名稱。在表中，C_n 表示群階為 n 的迴圈群，× 表示群直積，D_n 表示二面體群，Q_8 表示四元數群，A_n 表示交錯群，T 表示 12 階的非阿貝爾有限群，它不是 A_4 也不是 D_6（並且不是點群 T_h 的純旋轉子群 T），G_(16)^((4)) 表示 16 階的準二面體（或半二面體）群，其群表示為 <s,t;s^8=t^2=1,st=ts^3>，G_(16)^((5)) 表示 16 階的模群，其群表示為 <s,t;s^8=t^2=1,st=ts^5>，G_(16)^((6)) 表示 16 階的群，其群表示為 <s,t;s^4=t^4=1,st=ts^3>，G_(16)^((7)) 表示 16 階的群，其群表示為 <a,b,c;a^4=b^2=c^2=1,cbca^2b=1,bab=a,cac=a>，G_(16)^((8)) 表示群 G_(4,4)，其群表示為 <s,t;s^4=t^4=1,stst=1,ts^3=st^3>，G_(16)^((9)) 表示 16 階的廣義四元數群，其群表示為 <s,t;s^8=1,s^4=t^2,sts=t>，S_n 表示對稱群，G_(18)^((3)) 表示 C_3×C_3 與 C_2 的半直積，其群表示為 <x,y,z;x^2=y^3=z^3=1,yz=zy,yxy=x,zxz=x>，F_n 表示 n 階的弗羅貝尼烏斯群，G_(20)^((3)) 表示 C_5 與 C_4 的半直積，其群表示為 <s,t;s^4=t^5=1,tst=s>，G_(27)^((1)) 表示群，其群表示為 <s,t;s^9=t^3=1,st=ts^4>，G_(27)^((2)) 表示群，其群表示為 <x,y,z;x^3=y^3=z^3=1,yz=zyx,xy=yx,xz=zx>，以及 G_(28)^((2)) 表示 C_7 與 C_4 的半直積，其群表示為 <s,t;s^4=t^7=1,tst=s>

h#阿貝爾群#非阿貝爾群總計
11<e>0-1
21C_20-1
31C_30-1
42C_4, C_2×C_20-2
51C_50-1
61C_61D_32
71C_70-1
83C_8, C_2×C_4, C_2×C_2×C_22D_4, Q_85
92C_9, C_3×C_30-2
101C_(10)1D_52
111C_(11)0-1
122C_(12), C_2×C_63A_4, D_6, T5
131C_(13)0-1
141C_(14)1D_72
151C_(15)0-1
165C_(16), C_8×C_2, C_4×C_4, C_4×C_2×C_2, C_2×C_2×C_2×C_29D_8, D_4×C_2, Q×C_2, G_(16)^((4)), G_(16)^((5)), G_(16)^((6)), G_(16)^((7)), G_(16)^((8)), G_(16)^((9))14
171C_(17)0-1
182C_(18), C_6×C_33D_9, S_3×C_3, G_(18)^((3))5
191C_(19)0-1
202C_(20), C_(10)×C_23D_(10), F_(20), G_(20)^((2))5
211C_(21)1F_(21)2
221C_(22)1D_(11)2
231C_(23)0-1
243C_(24), C_2×C_(12), C_2×C_2×C_612S_4, S_3×C_4, S_3×C_2×C_2, D_4×C_3, Q×C_3, A_4×C_2, T×C_2, 以及其他 5 個15
252C_(25), C_5×C_50-2
261C_(26)1D_(13)2
273C_(27), C_9×C_3, C_3×C_3×C_32G_(27)^((1)), G_(27)^((2))5
282C_(28), C_2×C_(14)2D_(14), G_(28)^((2))4
291C_(29)0-1
304C_(30)3D_(15), D_5×C_3, D_3×C_54
311C_(31)0-1

下表列出了一些小有限群的屬性。這裡 h 再次是群階，PG 表示群可以由單個置換生成，MMG 表示群是模乘法群，C 是共軛類的數量，S 是子群的數量，N 是正規子群的數量。請注意，既不是置換群也不是模乘法群的最小群是 Q_8、C_3×C_3 和 T。

h群阿貝爾群PGMMGCC 長度SS 長度NA 的計數，使得 A^i=1
1<e>是是是111111
2C_2是是否22×121, 221, 2
3C_3是是是33×121, 321, 1, 3
4C_4是是是44×131, 2, 431, 2, 1, 4
C_2×C_2是否是44×151, 3×2, 451, 4, 1, 4
5C_5是是否55×121, 421, 1, 1, 1, 5
6C_6是是是66×141, 2, 3, 641, 2, 3, 2, 1, 6
D_3否是否31, 2, 361, 3×2, 3, 631, 4, 3, 4, 1, 6
7C_7是是否77×121, 721, 1, 1, 1, 1, 1, 7
8C_8是是是88×141, 2, 4, 841, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8
C_2×C_4是否是88×181, 3×2, 3×4, 841, 4, 1, 8, 1, 4, 1, 8
C_2×C_2×C_2是否是88×1161, 7×2, 7×4, 841, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 8
D_4否是否52×1, 3×2101, 5×2, 3×4, 861, 6, 1, 8, 1, 6, 1, 8
Q_8否否否52×1, 3×261, 2, 3×4, 861, 2, 1, 8, 1, 2, 1, 8
9C_9是是否99×131, 3, 931, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 9
C_3×C_3是否否
10C_(10)是是是1010×141, 2, 5, 1041, 2, 1, 2, 5, 2, 1, 2, 1, 10
D_5否是否41, 2×2, 581, 5×2, 5, 1031, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1, 10
11C_(11)是是否1111×121, 1121, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11
12C_(12)是是是1212×161, 2, 3, 4, 6, 1261, 2, 3, 4, 1, 6, 1, 4, 3, 2, 1, 12
C_2×C_6是否是1212×1101, 3×2, 3, 4, 3×6, 12101, 4, 3, 4, 1, 12, 1, 4, 3, 4, 1, 12
A_4否是否41, 3, 2×4101, 3×2, 4×3, 4, 1231, 4, 9, 4, 1, 12, 1, 4, 9, 4, 1, 12
D_6否是否62×1, 2×2, 2×3161, 7×2, 3, 3×4, 3×6, 1281, 8, 3, 8, 1, 12, 1, 8, 3, 8, 1, 12
T否否否62×1, 2×2, 2×381, 2, 3, 3×4, 6, 1231, 2, 3, 8, 1, 6, 1, 8, 3, 2, 1, 12
13C_(13)是是是1313×121, 1321, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13
14C_(14)是是否1414×141, 2, 7, 1441, 2, 1, 2, 1, 2, 7, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 14
D_7否是否51, 3×2, 7101, 7×2, 7, 1431, 8, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 14
15C_(15)是是否1515×141, 3, 5, 1541, 1, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 1, 3, 1, 1, 15

Cayley（1854 年）首次考慮了確定階為 h 的非同構有限群的問題。沒有已知的公式可以給出可能的有限群 g(h) 的數量，作為群階 h 的函式。但是，對於 h 的特殊形式，存在簡單的公式。

g(1)=1
(1)
g(p)=1
(2)
g(pq)={1 if p(q-1); 2 if p|(q-1)
(3)
g(p^2)=2
(4)
g(p^3)=5,
(5)

其中 p 和 q>p 是不同的素數。此外，Hölder（Hölder 1895，Alonso 1976）提出了一個精美的演算法，用於確定無平方因子 n 的 g(n)，即

g(n)=sum_(d|n)product_(p|d; d!=1)(p^(o_p(n/d))-1)/(p-1),
(6)

其中 o_p(m) 是素數 q 的數量，使得 q|m 和 p|(q-1) (Dennis)。

Miller（1930 年）給出了 1-100 階群的數量，其中包括錯誤的 297 作為 64 階群的數量。Senior 和 Lunn（1934 年，1935 年）隨後完成了 215 的列表，但省略了 128 和 192。Hall 和 Senior（1964 年）糾正了 64 階群的數量。James等人。（1990 年）在 128 階的 115 個同斜族中發現了 2328 個群，糾正了之前的工作，O'Brien（1991 年）發現了 256 階群的數量。目前，已知直到 2047 階的群的數量，其中 512（g(512)=10494213; Eick 和 O'Brien 1999b）、768 (Besche 和 Eick 2001ab) 和 1024 這些困難情況現在已經解決（Conway等人。2008 年）。下表給出了前幾百階的每個群階 h 的非同構有限群 N 的數量（OEIS A000001——第一個序列）。2^n 階的非同構群的數量，對於 n=0, 1, ... 是 1, 1, 2, 5, 14, 51, 267, 2328, 56092, ... (OEIS A000679)。

存在 n=1, 2, ... 個非同構群的最小階 h 是 1, 4, 75, 28, 8, 42, ... (OEIS A046057)。非同構有限群的增量最大數量是 1, 2, 5, 14, 15, 51, 52, 267, 2328, ... (OEIS A046058)，它們出現在階 1, 4, 8, 16, 24, 32, 48, 64, 128, ... (OEIS A046059)。Dennis 推測，階為 h 的群 g(h) 的數量無限次地取每個正整數值。

使用克羅內克分解定理可以很容易地確定阿貝爾群的數量，並且對於每個有限階 h，至少存在一個阿貝爾群。群階 h=1, 2, ... 的阿貝爾群的數量 A 由 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, ... 給出（OEIS A000688）。下表總結了階為 h 從 1 到 400 的有限群總數 N 和阿貝爾有限群的數量 A。Royle 給出了階數高達 1000 的表；GAP軟體包包括一個高達 2000 階（不包括 1024 階）的有限群數量表。給定階數的有限群的數量在 Wolfram 語言中實現為FiniteGroupCount[n]。

hNAhNAhNAhNA
11151111011115111
211525210241152123
31153111031115322
4225415310414315441
51155211052115521
6215613310621156182
71157211071115711
853582110845615821
92259111091115911
102160132110611602387
111161111112116111
12526221112435162555
131163421131116311
142164267111146116452
151165111151116521
1614566411165216621
171167111174216711
1852685211821168573
191169111191116922
2052704112047317041
212171111212217152
2221725061222117242
231173111231117311
2415374211244217441
252275321255317522
26217642126162176425
275377111271117711
2842786112823281517821
291179111292117911
30418052513041180374
3111811551311118111
32517822113210218241
331183111331118321
34218415213421184123
351185111355318511
36144862113615318661
371187111371118711
3821881231384118842
3921891113911189133
401439010214011219041
411191111411119111
4261924214221192154311
431193211431119311
444294211441971019421
452295111451119521
462196231714621196174
471197111476219711
48525985214852198102
492299221491119911
5052100164150132200526
hNAhNAhNAhNA
201212511130121351143
20221252464302213521957
20321253213031135311
2041222542130442535441
20521255113052135521
20621256560922230610235652
20722257113071135721
208515258613089235821
20911259113092135911
210121260152310613601626
21111261223111136122
212522622131261336221
21311263113131136332
2142126439331421364112
21511265113154236511
2161779266413164236661
21711267113171136711
218212684231841368425
21921269113191136922
22015227030332016401137041
22111271113211137111
2226127254532241372152
22311273513231137311
2241977274213241761037441
22564275423252237573
2262127610232621376123
22711277113272137711
22815227821328153378603
22911279423291137911
23041280403330121380112
23121281113311138121
232143282413324238221
23311283113335238311
23416228442334213842016915
23511285213351138521
2364228641336228538621
23721287113371138742
238412881045143385238852
23911289223391138911
240208529041340152390121
24111291213411139111
2425229252342182392446
243677293113435339311
2445229423234412339421
24522295113451139511
2464129614334621396304
24711297533471139711
2481232982134812239821
24911299113491139951
25015330049435010240022110

另請參閱

阿貝爾群, Abhyankar 猜想, 交錯群, 伯恩賽德問題, 柯西-弗羅貝尼烏斯引理, 謝瓦萊群, 有限群分類定理, 合成列, 連續群, 晶體學點群, 迴圈圖, 迴圈群, 二面體群, 離散群, Feit-Thompson 定理, 弗魯cht定理, 群, 群階, 無限群, 約當-赫爾德定理, 克羅內克分解定理, 李群, 李型群, 線性群, 模乘法群, 正交群, p-群, 點群, 四元數群, 單群, 散在群, 對稱群, 辛群, 扭曲謝瓦萊群, 酉群 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

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在 上引用

有限群

請引用為

Weisstein, Eric W. "有限群。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FiniteGroup.html

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