對稱群

n 階對稱群 是所有 排列 在 個符號上的群。 因此是一個 置換群，其階為 ，並且包含每個 階為 的 群 作為子群。

第 階對稱群在 Wolfram 語言中表示為SymmetricGroup[n]。它的迴圈指標可以使用 Wolfram 語言生成，方法如下CycleIndexPolynomial[SymmetricGroup[n], x1, ..., xn].

的共軛類的數量由 給出，其中 是 的 劃分函式 P。對稱群是 傳遞群 (Holton 和 Sheehan 1993, p. 27)。

對於任何 有限群 ，凱萊群定理 證明 同構於對稱群的子群。

上面說明了 的乘法表。

設 是給定排列的常用排列輪換記號。那麼下表給出了 的乘法表，它有 個元素。

	(1)(2)(3)	(1)(23)	(3)(12)	(123)	(132)	(2)(13)
(1)(2)(3)	(1)(2)(3)	(1)(23)	(3)(12)	(123)	(132)	(2)(13)
(1)(23)	(1)(23)	(1)(2)(3)	(132)	(2)(13)	(3)(12)	(123)
(3)(12)	(3)(12)	(123)	(1)(2)(3)	(1)(23)	(2)(13)	(132)
(123)	(123)	(3)(12)	(2)(13)	(132)	(1)(2)(3)	(1)(23)
(132)	(132)	(2)(13)	(1)(23)	(1)(2)(3)	(123)	(3)(12)
(2)(13)	(2)(13)	(132)	(123)	(3)(12)	(1)(23)	(1)(2)(3)

透過使用三個整數的序列來表示給定的排列以及應用排列後的數字順序，這可能會更容易理解。例如，考慮序列 ，並對其應用將序列項按 的順序排列的排列。用 Wolfram 語言的符號表示，這得到 ，這是單位排列，如下表所示。

	123	132	213	231	312	321
123	123	132	213	231	312	321
132	132	123	312	321	213	231
213	213	231	123	132	321	312
231	231	213	321	312	123	132
312	312	321	132	123	231	213
321	321	312	231	213	132	123

對稱群 的迴圈指標（在變數 , ..., 中）由下式給出

(1)

(Harary 1994, p. 184)，其中總和在解向量 的集合上執行，條件為

(2)

前幾個 的迴圈指標是

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)

內託猜想指出，當 時，對稱群的兩個元素 和 生成整個群的機率趨於 3/4。這已被 Dixon (1969) 證明。對於 , 2, ...，兩個元素生成 的機率為 1, 3/4, 1/2, 3/8, 19/40, 53/120, 103/168, ... （OEIS A040173 和 A040174）。找到序列項的通用公式是群論中一個著名的未解決問題。