共軛類

一組完整的相互共軛的群元素。一個群中的每個元素都屬於恰好一個類，並且單位元素 () 總是屬於其自身的類。共軛類階的所有類的階都必須是群階的整數因子。從最後兩個陳述來看，素數階的群對於每個元素都有一個類。更一般地，在阿貝爾群中，每個元素自身構成一個共軛類。

當一個運算可以透過對稱操作在新的座標系中被另一個運算替換時，這兩個運算屬於同一類（Cotton 1990, p. 52）。這些集合直接對應於等價運算的集合。

要了解如何計算共軛類，請考慮二面體群 D3，它具有以下乘法表。

	1
1	1
		1
			1
				1
						1
					1

始終在其自身的共軛類中。要找到另一個共軛類，取某個元素，例如 , 並找到所有相似變換 在 上的結果。例如，對於 , 乘以 的乘積可以讀取為包含 (第一個乘數) 的行與包含 (第二個乘數) 的列的交點處的元素，得到 。現在，我們要找到 其中 , 因此將兩邊都左乘 以獲得 , 因此 是列 相交於行 中的 1 的元素，即 。因此， 。類似地， , 繼續對所有元素進行此過程，得到

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

可能的結果是 , , 或 , 因此 形成一個共軛類。要找到下一個共軛類，取一個不屬於現有類的元素，例如 。應用相似變換得到

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

因此 形成一個共軛類。

令 為有限群，其群階為 , 令 為 的共軛類的數量。如果 是奇數，則

(11)

(Burnside 1955, p. 295)。此外，如果每個素數 整除 滿足 , 則

(12)

(Burnside 1955, p. 320)。Poonen (1995) 表明，如果每個素數 整除 滿足 對於 , 則

(13)