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二面體群 D_3

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二面體群 D_3 是 群階 為 6 的兩個不同抽象群的特例之一。與 迴圈群 C_6（它是阿貝爾群）不同，D_3 是非阿貝爾群。事實上，D_3 是群階最小的非阿貝爾群。

D_3 的例子包括稱為 C_(3h)、C_(3v)、S_3、D_3 的點群、等邊三角形的對稱群（Arfken 1985，第 246 頁）以及三個物件的 置換群（Arfken 1985，第 249 頁）。

CycleGraphD3

上面顯示了 D_3 的圈圖。D_3 的迴圈指標由下式給出

Z(D_3)=1/6x_1^3+1/2x_2x_1+1/3x_3.
(1)
DihedralGroupD3Table

其乘法表如上所示並在下面列出，其中 1 表示單位元。 (Arfken 1985，第 247 頁) 和 Cotton (1990，第 12 頁) 給出了等價但略有不同的形式，後者用 G_6^((2)) 表示 D_3 的抽象群。

D_31ABCDE
11ABCDE
AAB1DEC
BB1AECD
CCED1BA
DDCEA1B
EEDCBA1

與所有二面體群一樣，使用 實矩陣 的可約二維表示具有由 S 和 R 給出的生成元，其中 S 是繞透過正 n-邊形中心和其中一個頂點的軸旋轉 pi 弧度，R 是繞 n-邊形中心旋轉 2pi/n。上面的乘法表對應於以下矩陣

1=S^0R^0=[1 0; 0 1]
(2)
A=S^0R^1=[-1/2 -1/2sqrt(3); 1/2sqrt(3) -1/2]
(3)
B=S^0R^2=[-1/2 1/2sqrt(3); -1/2sqrt(3) -1/2]
(4)
C=S^1R^1=[1/2 1/2sqrt(3); 1/2sqrt(3) -1/2]
(5)
D=S^1R^0=[-1 0; 0 1]
(6)
E=S^1R^2=[1/2 -1/2sqrt(3); -1/2sqrt(3) -1/2].
(7)

D_3 的元素 X=1、C、D 和 E 滿足 X^2=1，元素 X=1、A 和 B 滿足 X^3=1，元素 X=1、C、D 和 E 滿足 X^4=1，並且所有元素都滿足 X^6=1。

共軛類為 {1}、{A,B} 和 {C,D,E}。D_3 有 6 個子群：{1}、{1,C}、{1,D}、{1,E}、{1,A,B} 和 {1,A,B,C,D,E}。其中，子群 {1}、{1,A,B} 和 {1,A,B,C,D,E} 是正規子群

要找到不可約表示，請注意有三個共軛類。不可約表示的第五條規則要求有三個不可約表示，第二條規則要求

h=l_1^2+l_2^2+l_3^2=6,
(8)

所以一定是真的

l_1=l_2=1,l_3=2.
(9)

根據規則 6，我們可以讓第一個表示都為 1。

D_31ABCDE
Gamma_1111111

為了找到與完全對稱表示正交的表示，我們必須有三個 +1 和三個 -1 群特徵標。我們還可以新增約束條件，即單位元 1 的分量為正。這三個共軛類分別有 1、2 和 3 個元素。由於我們需要總共三個 +1，並且我們已要求 階為 1 的共軛類出現 +1，因此剩餘的 +1 必須用於階為 2 的共軛類的元素，即 D 和 E。

D_31ABCDE
Gamma_1111111
Gamma_21-1-1-111

使用群規則 1，我們看到

1^2+1^2+chi_3^2(1)=6,
(10)

因此，1 的最終表示具有群特徵標 2。然後，與前兩個表示的（群規則 3）正交性產生以下約束

1·1·2+1·2·chi_2+1·3·chi_3=2+2chi_2+3chi_3=0
(11)
1·1·2+1·2·chi_2+(-1)·3·chi_3=2+2chi_2-3chi_3=0.
(12)

透過將 (12) 從 (11) 中相加和相減來解這些聯立方程，我們得到 chi_2=-1，chi_3=0。完整的特徵標表是

D_31ABCDE
Gamma_1111111
Gamma_21-1-1-111
Gamma_32000-1-1

由於只有三個共軛類，因此此表通常簡寫為

D_31A=B=CD=E
Gamma_1111
Gamma_21-11
Gamma_320-1

然後以矩陣形式寫出不可約表示，得到

1=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]
(13)
A=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 -1/2 -1/2sqrt(3); 0 0 1/2sqrt(3) -1/2]
(14)
B=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 -1/2 1/2sqrt(3); 0 0 -1/2sqrt(3) -1/2]
(15)
C=[1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1]
(16)
D=[1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1/2 -1/2sqrt(3); 0 0 -1/2sqrt(3) -1/2]
(17)
E=[1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1/2 1/2sqrt(3); 0 0 1/2sqrt(3) -1/2].
(18)

另請參閱

迴圈群 C6, 二面體群, 二面體群 D4

使用 探索

參考文獻

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 246-248, 1985.Cotton, F. A. Chemical Applications of Group Theory, 3rd ed. New York: Wiley, 1990.

請引用為

Weisstein, Eric W. "二面體群 D_3。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DihedralGroupD3.html

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