特徵標表

一個 有限群 具有有限數量的 共軛類 和有限數量的不同 不可約表示。 群特徵標 在一個 共軛類 上是常數。因此，特徵標的值可以寫成一個數組，稱為特徵標表。通常，行由 不可約表示 給出，列由 共軛類 給出。

特徵標表通常包含足夠的資訊來識別給定的抽象群並將其與其他群區分開來。然而，存在非同構群，它們仍然具有相同的特徵標表，例如 （正方形的對稱群）和 （四元數群）。

例如，在三個字母上的 對稱群 有三個 共軛類，由 置換 , , 和 代表。它也有三個 不可約表示；兩個是一維的，第三個是二維的

1. 平凡表示 。

2. 交錯表示，由 置換 的符號給出，。

3. 在 上的 標準表示，其中

標準表示 可以在 上透過矩陣描述

因此，第一個矩陣的 群特徵標 為 0，第二個矩陣的群特徵標為 。單位元的 群特徵標 始終是 向量空間 的維數。交錯表示的跡只是 置換 的 置換符號。因此， 的特徵標表如下所示。

化學家和物理學家使用一種特殊的約定來表示特徵標表，這種約定尤其適用於所謂的 點群，它們是晶格中可能存在的 32 個有限對稱群。在上面的例子中，編號區域包含以下內容（Cotton 1990 pp. 90-92）。

1. 用於表示所討論群的符號（在本例中為 ）。

2. 共軛類，用數字和符號表示，其中係數之和給出群的 階。

3. 密立根符號，每個 不可約表示 各一個。

4. 群的 不可約表示 的 群特徵標 陣列，每列對應一個 共軛類，每行對應一個 不可約表示。

5. 符號 、 、 、 、 和 的組合，前三個符號代表座標 、 和 ，後三個符號代表繞這些軸的旋轉。這些與群的變換性質和基表示有關。

6. 根據座標的變換性質，座標的所有平方和二元乘積。

許多 點群 的特徵標表使用此符號在下面再現。