不可約表示

一個群的不可約表示是一個沒有非平凡不變子空間的群表示。例如，正交群 在 上有一個不可約表示。

有限群或半單李群的任何表示都可以分解為不可約表示的直和。但一般來說，情況並非如此，例如， 在 上有一個表示，透過

(1)

即，。但子空間 是固定的，因此 不是不可約的，但沒有互補的不變子空間。

不可約表示有許多顯著的性質，正如在群正交性定理中形式化的一樣。設一個群的群階為 ，並且第 個表示的維度（每個組成矩陣的階數）為 （一個正整數）。設任何操作表示為 ，並且設矩陣 在第 個不可約表示中對應的矩陣的第 行和第 列為 。以下性質可以從群正交性定理中推匯出來：

(2)

1. 維度定理

(3)

其中每個 必須是一個正整數，並且 是表示的群特徵標（跡）。

2. 任何不可約表示 中群特徵標的平方和等於 ，

(4)

3. 不同表示的正交性

(5)

4. 在給定的表示中，無論是可約的還是不可約的，屬於同一類操作的所有矩陣的群特徵標都是相同的（但與其他表示中的不同）。

5. 一個群的不可約表示的數量等於該群中共軛類的數量。這個數字是 矩陣的維度（儘管有些可能具有零元素）。

6. 對於任何群，總是存在一個所有元素都為 1 的一維表示（完全對稱）。

7. 對於元素表示為矩陣的群，可以透過取矩陣的群特徵標來找到一維表示。

8. 可約表示 中存在的不可約表示 的數量 由下式給出：

(6)

其中 是群的群階，並且總和必須對每個類中的所有元素求和。顯式地寫出，

(7)

其中 是特徵標表中單個條目的群特徵標， 是相應共軛類中元素的數量。

不可約表示可以使用Mulliken 符號來表示。