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柯西-弗羅貝尼烏斯引理

設 J 為一個有限群，且像 R(J) 為一個表示，它是一個從 J 到一個置換群 S(X) 的同態，其中 S(X) 是一個群，由一個集合 X 的所有置換組成。將 R(J) 的軌道定義為在關係 x∼y 下的等價類，當且僅當存在某個 置換 p 在 R(J) 中使得 p(x)=y 成立時。置換 p 的不動點定義為 X 中的元素 x，對於這些元素，p(x)=x 成立。那麼，R(J) 中置換的不動點的算術平均數等於 R(J) 的軌道的數量。

這個引理顯然在 Burnside (1900) 重新發現之前，就已被柯西 (1845) 以晦澀的形式和弗羅貝尼烏斯 (1887) 所知。它有時也被稱為 Burnside 引理、軌道計數定理、波利亞-Burnside 引理，甚至“不是 Burnside 的引理！”。無論其名稱如何，這個引理隨後被波利亞 (1937) 擴充套件和改進，用於組合計數問題中的應用。在這種形式下，它被稱為波利亞計數定理。

參見

波利亞計數定理

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參考文獻

Burnside, W. "On Some Properties of Groups of Odd Order." Proc. London Math. Soc. 33, 162-184, 1900.Cauchy, A. "Mémoire sur diverses propriétés remarquables des substitutions régulières ou irrégulières, et des systémes de substitutiones conjugées." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 21, 835, 1845. Reprinted in Œuvres Complètes d'Augustin Cauchy, Tome IX. Paris: Gauthier-Villars, 342-360, 1896.Frobenius, F. G. "Über die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul." J. reine angew. Math. 101, 273-299, 1887. Reprinted in Ferdinand Georg Frobenius Gesammelte Abhandlungen, Band II. Berlin: Springer-Verlag, pp. 304-330, 1968.Harary, F. and Palmer, E. M. "Burnside's Lemma." §2.3 in Graphical Enumeration. New York: Academic Press, pp. 38-41, 1973.Neumann, P. M. "A Lemma that is not Burnside's." Math. Scientist 4, 133-141, 1979.Khan, M. R. "A Counting Formula for Primitive Tetrahedra in Z^3." Amer. Math. Monthly 106, 525-533, 1999.Pólya, G. "Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen, und chemische Verbindungen." Acta Math. 68, 145-254, 1937.Rotman, J. A First Course in Abstract Algebra, 2nd ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 2000.

請引用為

Weisstein, Eric W. "柯西-弗羅貝尼烏斯引理。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Cauchy-FrobeniusLemma.html

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