群軌道

在天體力學中，行星繞太陽執行時所描繪的固定路徑稱為軌道。當一個 群 作用於一個集合 （此過程稱為 群作用）時，它會置換 的元素。任何特定元素 都在一個固定的路徑上移動，這稱為其軌道。在集合論的符號中，群元素 的群軌道可以定義為

(1)

其中 遍歷群 的所有元素。例如，對於 置換群 ，1 和 2 的軌道是 ，而 3 和 4 的軌道是 。

群不動點 是由單個元素組成的軌道，即在群的所有元素下都發送到自身的元素。穩定子 元素 由產生 群不動點 在 中的 的所有置換組成，即，將 傳送到自身的置換。因此， 下 1 和 2 的穩定子是 ，而 3 和 4 的穩定子是 。

請注意，如果 ，則 ，因為 當且僅當 。因此，軌道 劃分 ，並且，給定集合 上的 置換群 ，元素 的軌道是 的子集，該子集由某些元素 可以將 傳送到的元素組成。

例如，考慮圓群 在 球面 上沿其軸旋轉的作用。那麼北極是一個軌道，南極 也是。赤道是一個一維軌道，一般軌道也是，對應於緯度線。

李群 作用的軌道可能彼此不同。例如，，正交群 符號 ，作用於平面。它有三種不同型別的軌道：原點（一個 群不動點）、四條射線 和雙曲線，例如 。一般來說，軌道的維度可以是任何維度，最高可達 李群 的維度。如果 李群 是 緊緻 的，那麼它的軌道是 子流形。

群在其透過 的軌道上的作用是 傳遞 的，因此與其 迷向群 相關。特別是，迷向子群的陪集對應於軌道中的元素，

(2)

其中 是 在 中的軌道，而 是 在 中的 穩定子。這立即給出了恆等式

(3)

其中 表示群 的階數（Holton 和 Sheehan 1993，第 27 頁）。