群作用

稱一個群 作用於一個集合 ，當存在對映 使得對於所有元素 ，以下條件成立。

1. 其中 是 的單位元。

2. 對於所有 。

在這種情況下， 被稱為 變換群， 被稱為 -集，而 被稱為群作用。

在群作用中，群 置換 的元素。單位元不執行任何操作，而動作的複合對應於複合的動作。例如，如上圖所示，對稱群 透過置換作用於數字 0 到 9。

對於給定的 ，集合 ，其中群作用移動 ，被稱為 群軌道。固定 的 子群 是 的 穩定子群。

例如，群 透過乘以 作用於實數。單位元保持一切不變，而 將 變為 。注意 ，這對應於 。對於 ， 的軌道是 ，穩定子群是平凡的，。此作用的唯一 群不動點 是 。

在群表示中，群透過 線性變換 作用於向量空間 。實際上，表示是從 到 的 群同態， 的一般線性群。一些群在表示中描述，例如特殊線性群，儘管它們可能具有不同的表示。

從歷史上看，最早研究的群作用是 伽羅瓦群 在 多項式 的根上的作用。然而，在數學的許多分支中，包括代數、拓撲學、幾何、數論和分析，以及科學領域，包括化學和物理學，群作用都有大量的例子和應用。