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拓撲學

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拓撲學是對物體在形變、扭曲和拉伸等操作下保持不變的性質進行數學研究的學科。但是，撕裂是不允許的。一個圓在拓撲上等價於一個橢圓（可以透過拉伸變形得到），而一個球體等價於一個橢球體。類似地，時鐘時針的所有可能位置的集合在拓撲上等價於一個圓（即一個可以在二維空間中嵌入的、沒有交叉的一維閉合曲線），時針和分針的所有可能位置的集合在拓撲上等價於一個環面的表面（即一個可以在三維空間中嵌入的二維表面），而時針、分針和秒針的所有可能位置的集合在拓撲上等價於一個三維物體。

拓撲學的定義引出了以下數學笑話（Renteln and Dundes 2005）

問：什麼是拓撲學家？答：是無法區分甜甜圈和咖啡杯的人。

但是，拓撲學的內涵遠不止這些。拓撲學起源於對平面和三維空間中的曲線、曲面和其他物體的研究。拓撲學的一個核心思想是，諸如圓和球體之類的空間物體可以被視為它們自身的獨立物件，並且對物體的認知獨立於它們在空間中的“表示”或“嵌入”方式。例如，“如果你從一個圓中移除一個點，你會得到一條線段”這個陳述既適用於圓，也適用於橢圓，甚至適用於纏繞或打結的圓，因為該陳述僅涉及拓撲性質。

拓撲學與對空間物體的研究有關，例如曲線、曲面、我們稱之為宇宙的空間、廣義相對論的時空、分形、結、流形（它們與我們的宇宙具有一些相同的基本空間性質）、物理學中遇到的相空間（例如時鐘指標位置的空間）、像旋轉陀螺的方式集合之類的對稱群等等。

TopologySquares

拓撲學可用於抽象物體的固有連通性，同時忽略它們的詳細形式。例如，上圖說明了許多拓撲上不同的曲面的連通性。在這些圖中，以實線繪製的平行邊以箭頭指示的方向相互連線，因此標有相同字母的角對應於同一點，虛線表示保持自由的邊（Gardner 1971，pp. 15-17；Gray 1997，pp. 322-324）。上面的圖形對應於圓盤（平面）、克萊因瓶、莫比烏斯帶、實射影平面、球體、環面和管。標籤通常在這樣的圖中被省略，因為它們透過平行線的連線以及箭頭指示的方向來暗示。

拓撲學的“物件”通常被正式定義為拓撲空間。如果兩個物體具有相同的拓撲性質，則稱它們是同胚的（儘管嚴格來說，透過拉伸和扭曲物體而不被破壞的性質實際上是同痕保持的性質，而不是同胚；同痕與扭曲嵌入的物件有關，而同胚是內在的）。

大約在 1900 年，龐加萊提出了對物體拓撲的一種度量，稱為同倫（Collins 2004）。特別地，如果一個數學物件可以連續變形為另一個數學物件，則稱這兩個數學物件是同倫的。

拓撲學可以分為代數拓撲學（包括組合拓撲學）、微分拓撲學和低維拓撲學。拓撲學的低層語言，實際上不被認為是拓撲學的一個獨立“分支”，被稱為點集拓撲學。

還有一種用集合運算定義的拓撲學的正式定義。一個集合 X 與其子集的集合 T一起被稱為拓撲，如果T中的子集滿足以下性質

1. (平凡)子集 X 和空集 emptyset 在 T 中。

2. 只要集合 A 和 B 在 T 中，那麼 A intersection B 也在 T 中。

3. 只要兩個或多個集合在 T 中，那麼它們的並集也在 T 中。

（Bishop 和 Goldberg 1980）。這個定義可以用來列舉n 個符號上的拓撲。例如，1 階的唯一拓撲是 {emptyset,{1}}，而 2 階的四個拓撲是 {emptyset,{1},{1,2}}，{emptyset,{1,2}}，{emptyset,{1,2},{2}} 和 {emptyset,{1},{2},{1,2}}。基數為 n=1，2，... 的集合上的拓撲的數量是 1、4、29、355、6942、... (OEIS A000798)。

定義了拓撲 T 的集合 X 被稱為拓撲空間（Munkres 2000，p. 76）。例如，集合X={1,2,3,4} 以及子集T={emptyset,{1},{2,3,4},{1,2,3,4}} 構成一個拓撲，並且 X 是一個拓撲空間。

拓撲可以由拓撲基構建而成。對於實數，一個拓撲基是開區間的集合。

另請參閱

代數拓撲學、微分拓撲學、虧格、同倫、克萊因瓶、結、庫拉托夫斯基約簡定理、萊夫謝茨跡公式、低維拓撲學、流形、莫比烏斯帶、點集拓撲學、椒鹽捲餅變換、球體外翻、拓撲基、拓撲空間、扎里斯基拓撲 在 課堂中探索這個主題

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參考文獻

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在 上引用

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引用此內容

韋斯坦因，埃裡克 W. “拓撲學”。來自 --一個 Wolfram 網路資源。https://mathworld.tw/Topology.html

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