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並集

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兩個集合 A 和 B 的並集是透過組合每個集合的成員獲得的集合。這寫作 A union B，讀作 “A 並 B” 或 “A 杯 B”。集合 A_1 到 A_n 的並集寫作 union _(i=1)^nA_i。列表的並集可以在 Wolfram 語言 中計算為並集[l].

設 A、 B、 C、 ... 為集合，令 P(S) 表示 S 的機率。則

P(A union B)=P(A)+P(B)-P(A intersection B).
(1)

類似地，

P(A union B union C)=P[A union (B union C)]
(2)
=P(A)+P(B union C)-P[A intersection (B union C)]
(3)
=P(A)+[P(B)+P(C)-P(B intersection C)]-P[(A intersection B) union (A intersection C)]
(4)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(B intersection C)-{P(A intersection B)+P(A intersection C)-P[(A intersection B) intersection (A intersection C)]}
(5)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(A intersection B)-P(A intersection C)-P(B intersection C)+P(A intersection B intersection C).
(6)

對於 n 個集合，此屬性的通用表述被稱為容斥原理。

如果 A 和 B 是不相交集合，那麼根據定義 P(A intersection B)=0，因此

P(A union B)=P(A)+P(B).
(7)

繼續，對於一組 n 個不相交元素 E_1、 E_2、 ...、 E_n

P( union _(i=1)^nE_i)=sum_(i=1)^nP(E_i),
(8)

這是可數可加性機率公理。現在令

E_i=A intersection B_i,
(9)

則

P( union _(i=1)^nE intersection B_i)=sum_(i=1)^nP(E intersection B_i).
(10)

另請參閱

不相交併集, 容斥原理, 交集, 或, 並閉集, 無序並集 在 課堂中探索此主題

使用 探索

引用為

Weisstein, Eric W. "並集。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/Union.html

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