平面

平面是由兩個線性無關向量張成的二維雙重直紋曲面。平面推廣到更高維度被稱為超平面。兩個相交平面之間的夾角稱為二面角。

具有非零法向量 且透過點 的平面方程是

其中 。代入得到平面的一般方程，

其中

以這種形式指定的平面因此在以下位置具有 -, -, 和 - 截距：

並且位於 距離

原點的距離。

以所謂的黑塞法式 (Hessian normal form) 指定平面尤其方便。這可以透過定義單位法向量 的分量，從 (◇) 獲得：

以及常數：

那麼平面的黑塞法式是

(Gellert et al. 1989, p. 540)，到點 的（有符號）距離是：

並且到原點的距離很簡單：

(Gellert et al. 1989, p. 541)。

在截距式中，透過點 , 和 的平面由下式給出：

透過 且平行於 和 的平面是：

透過點 和 且平行於方向 的平面是：

三點式是：

以三點式指定的平面可以用一般方程 (◇) 表示為：

其中

並且 是透過用 1 的列向量替換 獲得的行列式。為了用黑塞法式表示，請注意單位法向量也可以立即寫成：

並且給出平面到原點距離的常數 是：

從點 到平面的（有符號）點到平面距離

是：

平面之間的二面角

其法向量為 和 ，透過法向量的點積簡單地給出：

如果平面以黑塞法式指定，則二面角計算起來特別簡單 (Gellert et al. 1989, p. 541)。

為了指定平面中 個點的相對距離，需要 個座標，因為第一個點始終可以放置在 (0, 0)，第二個點可以放置在 ，它定義了 x 軸。剩餘的 個點每個需要兩個座標。然而，距離的總數是

其中 是一個二項式係數，因此點之間的距離受 個關係式的約束，其中

對於 和 ，沒有關係式。然而，對於四邊形（），有一個關係式 (Weinberg 1972)。

不可能選取在平面上均勻分佈的隨機變數 (Eisenberg and Sullivan 1996)。在四維空間中，四個平面可能相交於恰好一個點。對於平面中的每組 個點，平面中都存在一個點 ，該點具有以下屬性：透過 的每條直線在其每一側至少有 1/3 的點 (Honsberger 1985)。

平面的每個剛體運動都是以下型別之一 (Singer 1995)：

1. 繞固定點 旋轉。

2. 沿直線 方向平移。

3. 關於直線 反射。

4. 沿直線 滑移反射。

雙曲平面的每個剛體運動都是上述型別之一或

5. 極限環旋轉。