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法向量

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法向量，通常簡稱為“法線”，是與曲面上給定點垂直的 向量。 當在閉合曲面上考慮法向量時，通常區分指向內部的內向法向量和指向外部的外向法向量。

透過歸一化法向量（即將非零法向量除以其 向量範數）獲得的 單位向量 是單位法向量，通常簡稱為“單位法線”。 應注意不要混淆術語“向量範數”（向量的長度）、“法向量”（垂直向量）和“歸一化向量”（單位長度向量）。

法向量通常用 N 或 n 表示，有時（但不總是）新增一個 帽子 符號（即 N^^ 和 n^^）來明確指示單位法向量。

在曲面 z=f(x,y) 上的點 (x_0,y_0) 處的法向量由下式給出

N=[f_x(x_0,y_0); f_y(x_0,y_0); -1],
(1)

其中 f_x=partialf/partialx 和 f_y=partialf/partialy 是 偏導數。

一個由下式指定的 平面 的法向量

f(x,y,z)=ax+by+cz+d=0
(2)

由下式給出

N=del f=[a; b; c],
(3)

其中 del f 表示 梯度。 透過點 (x_0,y_0,z_0) 且法向量為 n=(a,b,c) 的平面的方程由下式給出

[a; b; c]·[x-x_0; y-y_0; z-z_0]=a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
(4)

對於平面曲線，單位法向量可以定義為

N^^=(dT^^)/(dphi),
(5)

其中 T^^ 是單位 切向量，phi 是 極角。 給定一個單位 切向量

T^^=u_1x^^+u_2y^^
(6)

其中 sqrt(u_1^2+u_2^2)=1，法向量為

N^^=-u_2x^^+u_1y^^.
(7)

對於引數給出的平面曲線，相對於點 (f(t),g(t)) 的法向量由下式給出

x(t)=-(g^')/(sqrt(f^('2)+g^('2)))
(8)
y(t)=(f^')/(sqrt(f^('2)+g^('2))).
(9)

要實際放置與曲線垂直的向量，必須將其位移 (f(t),g(t))。

對於空間曲線，單位法向量由下式給出

N^^=((dT^^)/(ds))/(|(dT^^)/(ds)|)
(10)
=((dT^^)/(dt))/(|(dT^^)/(dt)|)
(11)
=1/kappa(dT^^)/(ds),
(12)

其中 T^^ 是 切向量，s 是 弧長，kappa 是 曲率。 它也可以由下式給出

N^^=B^^xT^^,
(13)

其中 B^^ 是 雙法向量（Gray 1997，第 192 頁）。

對於引數化為 x(u,v) 的曲面，法向量由下式給出

N=(partialx)/(partialu)x(partialx)/(partialv).
(14)

給定一個由 F(x,y,z)=0 隱式定義的三維曲面，

n^^=(del F)/(sqrt(F_x^2+F_y^2+F_z^2)).
(15)

如果曲面以引數形式定義為

x=x(phi,psi)
(16)
y=y(phi,psi)
(17)
z=z(phi,psi),
(18)

定義 向量

a=[x_phi; y_phi; z_phi]
(19)
b=[x_psi; y_psi; z_psi].
(20)

那麼單位法向量是

N^^=(axb)/(sqrt(|a|^2|b|^2-|a·b|^2)).
(21)

令 g 為 度量張量 的判別式。 則

N=(r_1xr_2)/(sqrt(g))=epsilon_(ij)r^j.
(22)

另請參閱

雙法向量, 接觸角, 曲率, 弗雷內公式, 多元微積分, 範數, 切向量, 撓率 在 課堂中探索這個主題

使用 探索

參考文獻

Gray, A. “平面曲線的切線和法線”。 《使用 Mathematica 的曲線和曲面的現代微分幾何》第 2 版第 5.5 節。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 108-111, 1997。

在 上引用

法向量

請引用為

Weisstein, Eric W. “法向量”。 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/NormalVector.html

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