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向量範數

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給定一個 n-維向量

x=[x_1; x_2; |; x_n],
(1)

一個通用的向量範數 |x|，有時用雙豎線表示為 ||x||，是一個非負範數，定義如下：

1. |x|>0 當 x!=0 時，並且 |x|=0 當且僅當 x=0。

2. |kx|=|k||x| 對於任何標量 k。

3. |x+y|<=|x|+|y|.

本文中，單豎線用於表示向量範數、絕對值或複數模量，而雙豎線保留用於表示矩陣範數。

向量範數 |x|_p 對於 p=1, 2, ... 定義為

|x|_p=(sum_(i)|x_i|^p)^(1/p).
(2)

向量 v 的 p-範數實現為範數[v, p]，其中 2-範數由以下方式返回範數[v]。

特殊情況 |x|_infty 定義為

|x|_infty=max_(i)|x_i|.
(3)

最常見的向量範數（通常簡稱為向量的“範數”，有時也稱為向量的大小）是 L2 範數，由下式給出

|x|_2=|x|=sqrt(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2).
(4)

下表總結了這種和其他型別的向量範數，以及示例向量 v=(1,2,3) 的範數值。

名稱符號值近似值
L^1-範數|x|_166.000
L^2-範數|x|_2sqrt(14)3.742
L^3-範數|x|_36^(2/3)3.302
L^4-範數|x|_42^(1/4)sqrt(7)3.146
L^infty-無窮範數|x|_infty33.000

另請參閱

相容, 距離, 歐幾里得度量, L1 範數, L2 範數, L-無窮範數, 矩陣範數, 自然範數, 範數, 向量大小

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參考文獻

Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 積分表、級數表和乘積表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, p. 1114, 2000.Horn, R. A. 和 Johnson, C. R. "向量和矩陣的範數。" Ch. 5 in 矩陣分析。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 中引用

向量範數

如此引用

韋斯坦因，埃裡克·W. "向量範數。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/VectorNorm.html

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