距離

兩點之間的距離是連線它們的路徑的長度。在平面上，點 和 之間的距離由勾股定理給出，

(1)

在歐幾里得三維空間中，點 和 之間的距離是

(2)

一般來說，在歐幾里得空間 中，點 和 之間的距離由下式給出

(3)

對於彎曲或更復雜的表面，所謂的度量可以用來透過積分計算兩點之間的距離。當沒有限定時，“距離”通常指的是兩點之間最短的距離。例如，在球體上兩點之間有無數條路徑，但一般來說，只有一條最短路徑。兩點之間最短的距離是兩點之間所謂的測地線的長度。在球體的情況下，測地線是包含這兩點的大圓的一段。

設 是流形 中從 到 的光滑曲線，其中 和 。那麼 ，其中 是 在 的切空間。 關於黎曼結構的曲線長度由下式給出

(4)

並且 和 之間的距離 是 和 之間由下式給出的最短距離

(5)

為了指定平面中 個點的相對距離，需要 個座標，因為第一個點總是可以取為 (0, 0)，第二個點可以取為 ，這定義了 x 軸。 剩餘的 個點每個需要兩個座標。然而，距離的總數是

(6)

其中 是二項式係數。 因此， 個點之間的距離受 個關係的約束，其中

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對於 , 2, ..., 這給出了 0, 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... (OEIS A000217) 關係，並且 個點之間關係的數目是三角數 。

雖然對於 和 個點沒有關係，但是對於 ( 四邊形 )，有一個關係 (Weinberg 1972)

(9)

這個方程可以透過寫出下式推匯出來

(10)

並透過從 , , , , , 和 的方程中消除 和 。 這就得到了一個 Cayley-Menger 行列式

(11)

正如 Uspensky (1948, p. 256) 所觀察到的。