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測地線

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測地線是區域性長度最小化的曲線。等價地，它是非加速粒子將遵循的路徑。在平面上，測地線是直線。在球面上，測地線是大圓（如赤道）。空間中的測地線取決於黎曼度量，黎曼度量影響距離和加速度的概念。

測地線在曲面上保持方向（Tietze 1965，第 26-27 頁），並具有許多其他有趣的性質。測地線弧上任何點的法向量都沿著該點曲面的法線方向（Weinstock 1974，第 65 頁）。

此外，無論球面如何變形，其上都存在無數條閉合測地線。這個在 1990 年代初期被證明的普遍結果，擴充套件了 Birkhoff 早期的工作，他在 1917 年證明在變形球面上至少存在一條閉合測地線，以及 Lyusternik 和 Schnirelmann，他們在 1923 年證明在這樣的球面上至少存在三條閉合測地線（Cipra 1993，第 28 頁）。

對於由 x=x(u,v), y=y(u,v), 和 z=z(u,v) 引數化給出的曲面，可以透過最小化弧長來找到測地線

I=intds=intsqrt(dx^2+dy^2+dz^2).
(1)

但是

dx=(partialx)/(partialu)du+(partialx)/(partialv)dv
(2)
dx^2=((partialx)/(partialu))^2du^2+2(partialx)/(partialu)(partialx)/(partialv)dudv+((partialx)/(partialv))^2dv^2,
(3)

以及類似的 dy^2 和 dz^2。代入，

I=int{[((partialx)/(partialu))^2+((partialy)/(partialu))^2+((partialz)/(partialu))^2]du^2+2[(partialx)/(partialu)(partialx)/(partialv)+(partialy)/(partialu)(partialy)/(partialv)+(partialz)/(partialu)(partialz)/(partialv)]dudv+[((partialx)/(partialv))^2+((partialy)/(partialv))^2+((partialz)/(partialv))^2]dv^2}^(1/2).
(4)

這可以重寫為

I=intsqrt(P+2Qv^'+Rv^('2))du
(5)
=intsqrt(Pu^('2)+2Qu^'+R)dv,
(6)

其中

v^'=(dv)/(du)
(7)
u^'=(du)/(dv)
(8)

和

P=((partialx)/(partialu))^2+((partialy)/(partialu))^2+((partialz)/(partialu))^2
(9)
Q=(partialx)/(partialu)(partialx)/(partialv)+(partialy)/(partialu)(partialy)/(partialv)+(partialz)/(partialu)(partialz)/(partialv)
(10)
R=((partialx)/(partialv))^2+((partialy)/(partialv))^2+((partialz)/(partialv))^2.
(11)

從方程 (◇) 開始

I=intsqrt(P+2Qv^'+Rv^('2))du
(12)
=intLdu,
(13)

並求導數，

(partialL)/(partialv)=1/2(P+2Qv^'+Rv^('2))^(-1/2)((partialP)/(partialv)+2(partialQ)/(partialv)v^'+(partialR)/(partialv)v^('2))
(14)
(partialL)/(partialv^')=1/2(P+2Qv^'+Rv^('2))^(-1/2)(2Q+2Rv^'),
(15)

那麼尤拉-拉格朗日微分方程給出

((partialP)/(partialv)+2v^'(partialQ)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv))/(2sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2)))-d/(du)((Q+Rv^')/(sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2))))=0.
(16)

在 P, Q, 和 R 是 u 的顯式函式的特殊情況下，

(Q+Rv^')/(sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2)))=c_1
(17)
(Q^2+2QRv^'+R^2v^('2))/(P+2Qv^'+Rv^('2))=c_1^2
(18)
v^('2)R(R-c_1^2)+2v^'Q(R-c_1^2)+(Q^2-Pc_1^2)=0
(19)
v^'=1/(2R(R-c_1^2))[2Q(c_1^2-R)+/-sqrt(4Q^2(R-c_1^2)^2-4R(R-c_1^2)(Q^2-Pc_1^2))].
(20)

現在，如果 P 和 R 只是 u 的顯式函式且 Q=0,

v^'=(sqrt(4R(R-c_1^2)Pc_1^2))/(2R(R-c_1^2))=c_1sqrt(P/(R(R-c_1^2))),
(21)

所以

v=c_1intsqrt(P/(R(R-c_1^2)))du.
(22)

在 Q=0 的情況下，其中 P 和 R 只是 v 的顯式函式，那麼

((partialP)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv))/(2sqrt(P+Rv^('2)))-d/(du)((Rv^')/(sqrt(P+Rv^('2))))=0,
(23)

所以

(partialP)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv)-2sqrt(P+Rv^('2))R[(v^(''))/(sqrt(P+Rv^('2)))+(-1/2)(v^'(2Rv^'v^('')))/((P+Rv^('2))^(3/2))]=0
(24)
(partialP)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv)-2Rv^('')+(2R^2v^('2)v^(''))/(P+Rv^('2))=0
(25)
(Rv^('2))/(sqrt(P+Rv^('2)))-sqrt(P+Rv^('2))=c_1
(26)
Rv^('2)-(P+Rv^('2))=c_1sqrt(P+Rv^('2))
(27)
(-P/(c_1))^2=P+Rv^('2)
(28)
(P^2-c_1^2P)/(Rc_1^2)=v^('2),
(29)

和

u=c_1intsqrt(R/(P^2-c_1^2P))dv.
(30)

對於旋轉曲面，其中 y=g(x) 繞 x-軸 旋轉，使得曲面方程為

y^2+z^2=g^2(x),
(31)

曲面可以引數化為

x=u
(32)
y=g(u)cosv
(33)
z=g(u)sinv.
(34)

那麼測地線的方程是

v=c_1int(sqrt(1+[g^'(u)]^2)du)/(g(u)sqrt([g(u)]^2-c_1^2)).
(35)

另請參閱

Blaschke 猜想, 橢球測地線, 測地曲率, 測地圓頂, 測地線方程, 測地對映, 測地三角形, 圖測地線, 大圓, 調和對映, 扁球面測地線, 拋物面測地線, Wiedersehen 曲面, Zoll 曲面

本條目部分內容由 Todd Rowland 貢獻

使用 探索

參考文獻

Cipra, B. What's Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 1. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 21-25, 1993.Tietze, H. Famous Problems of Mathematics: Solved and Unsolved Mathematics Problems from Antiquity to Modern Times. New York: Graylock Press, 1965.Weinstock, R. Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering. New York: Dover, 1974.Weyl, H. Mathematische Analyse des Raumproblems: Was Ist Materie? Berlin: Wissenschaftl. Buchgesellschaft, 1923.

在 中被引用

測地線

請引用為

Rowland, Todd 和 Weisstein, Eric W. "測地線。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Geodesic.html

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