主題
Search

扁球面上的測地線

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram 筆記本

扁球面上的測地線可以透過解析方法計算，儘管結果表示式比簡單球面的測地線要複雜得多。一個赤道半徑為 a 極半徑為 c 的扁球面可以用引數方程表示為

x=asinvcosu
(1)
y=asinvsinu
(2)
z=ccosv,
(3)

其中 a>c。使用二階偏導數

(partial^2x)/(partialu^2)=-asinvcosu
(4)
(partial^2x)/(partialv^2)=-asinvcosu
(5)
(partial^2y)/(partialu^2)=-asinvsinu
(6)
(partial^2y)/(partialv^2)=-asinvsinu
(7)
(partial^2z)/(partialu^2)=0
(8)
(partial^2z)/(partialv^2)=-ccosv
(9)

得到測地線函式為

P=((partialx)/(partialu))^2+((partialy)/(partialu))^2+((partialz)/(partialu))^2
(10)
=a^2sin^2v
(11)
Q=(partialx)/(partialu)(partialx)/(partialv)+(partialy)/(partialu)(partialy)/(partialv)+(partialz)/(partialu)(partialz)/(partialv)
(12)
=0
(13)
R=((partialx)/(partialv))^2+((partialy)/(partialv))^2+((partialz)/(partialv))^2
(14)
=a^2+(c^2-a^2)sin^2v=a^2(1-e^2sin^2v),
(15)

其中

e=sqrt((a^2-c^2)/(a^2))
(16)

是離心率。

由於 Q=0，且 P 和 R 只是 v 的顯式函式，我們可以使用測地線方程的特殊形式

u=c_1intsqrt(R/(P^2-c_1^2P))dv
(17)
=c_1intsqrt((a^2(1-e^2sin^2v))/(a^4sin^4v-c_1^2a^2sin^2v))dv
(18)
=intsqrt((1-e^2sin^2v)/((a/(c_1))^2sin^2v-1))(dv)/(sinv),
(19)

其中 c_1 是一個常數，取決於起點和終點。積分得到

u=-(e^2F(phi|((d^2-1)e^2)/(d^2-e^2))-d^2Pi(d^2-1,phi|((d^2-1)e^2)/(d^2-e^2)))/(sqrt(d^2-e^2)),
(20)

其中

d=a/(c_1)
(21)
cosphi=(dcosv)/(sqrt(d^2-1)),
(22)

F(phi|m) 是引數為 m 的第一類橢圓積分，而 Pi(phi|m,k) 是第三類橢圓積分。

扁球面上測地線（子午線除外）在兩條與赤道等距的緯度線之間波動。使用 Weierstrass sigma 函式 和 Weierstrass zeta 函式，扁球面上的測地線可以寫成

x+iy=kappa(sigma(a+u))/(sigma(u)sigma(a))e^(u[eta-zeta(omega+a)])
(23)
x-iy=kappa(sigma(a-u))/(sigma(u)sigma(a))e^(-u[eta-zeta(omega+a)])
(24)
z^2=lambda^2(sigma(omega^('')+u)sigma(omega^('')-u))/(sigma^2(u)sigma^2(a))
(25)

(Forsyth 1960, pp. 108-109; Halphen 1886-1891)。

測地線的方程可以寫成以下形式

dphi=(sqrt(1-e^2sin^2v)sina)/(sqrt(sin^2v-sin^2a)sinv)dv,
(26)

其中 a 是曲線上 v 的最小值。此外，曲線上最高緯度和次低緯度點之間的經度差為

pi-2(sqrt(1-e^2sin^2a))/(sina)int_0^kappa(dnu-dn^2u)/(1+cot^2asn^2u)du,
(27)

其中橢圓函式的橢圓模量為

k=(ecosa)/(sqrt(1-e^2sin^2a))
(28)

(Forsyth 1960, p. 446)。

另請參閱

橢球測地線, 大圓, 扁球面

使用 探索

WolframAlpha

更多嘗試

參考文獻

Forsyth, A. R. 變分法 New York: Dover, 1960.Gosper, R. W. "球面測地線積分。" math-fun@cs.arizona.edu 郵件列表, 1996 年 9 月 9 日.Halphen, G. H. Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications fonctions elliptiques, Vol. 2. Paris: Gauthier-Villars, pp. 238-243, 1886-1891.Tietze, H. 數學名題：從古代到現代已解決和未解決的數學問題 New York: Graylock Press, pp. 28-29 and 40-41, 1965.

在 中引用

扁球面上的測地線

引用為

Weisstein, Eric W. “扁球面上的測地線。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/OblateSpheroidGeodesic.html

主題分類