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魏爾斯特拉斯 Sigma 函式

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由以下定義的準週期函式

d/(dz)lnsigma(z;g_2,g_3)=zeta(z;g_2,g_3),
(1)

其中 zeta(z;g_2,g_3) 是魏爾斯特拉斯 zeta 函式，並且

lim_(z->0)(sigma(z))/z=1.
(2)

（與其他魏爾斯特拉斯橢圓函式的情況一樣，不變數 g_2 和 g_3 為了簡潔起見經常被省略。）那麼

sigma(z)=zproduct_(m,n=-infty)^infty^'[(1-z/(Omega_(mn)))exp(z/(Omega_(mn))+(z^2)/(2Omega_(mn)^2))],
(3)

其中乘積中省略了 m=n=0 的項，並且 Omega_(mn)=2momega_1+2nomega_2。

令人驚訝的是，sigma(1|1,i)/2，其中 sigma(z|omega_1,omega_2) 是具有半週期 omega_1 和 omega_2 的魏爾斯特拉斯 sigma 函式，可以用 pi, e 和 Gamma(1/4) 表示的閉合形式表示。這個常數被稱為魏爾斯特拉斯常數。

此外，sigma(z) 滿足

sigma(z+2omega_1)=-e^(2eta_1(z+omega_1))sigma(z)
(4)
sigma(z+2omega_2)=-e^(2eta_2(z+omega_2))sigma(z)
(5)

並且

sigma_r(z)=(e^(-eta_rz)sigma(z+omega_r))/(sigma(omega_r))
(6)

對於 r=1, 2, 3。該函式在Wolfram 語言中實現為WeierstrassSigma[u, {g2, g3}]。

sigma(z) 可以用 雅可比 theta 函式表示，表示式為

sigma(z|omega_1,omega_2)=(2omega_1)/(pitheta_1^')exp(-(nu^2theta_1^('''))/(6theta_1^'))theta_1(nu|(omega_2)/(omega_1)),
(7)

其中 nu=piz/(2omega_1)，並且

eta_1=-(pi^2theta_1^('''))/(12omega_1theta_1^')
(8)
eta_2=-(pi^2omega_2theta_1^('''))/(12omega_1^2theta_1^')-(pii)/(2omega_1).
(9)

sigma(z) 有一個漂亮的級數展開式，由雙重級數給出

sigma(z)=sum_(m,n=0)^inftya_(mn)(1/2g_2)^m(2g_3)^n(z^(4m+6n+1))/((4m+6n+1)!),
(10)

其中 a_(00)=1，當任一下標為負數時 a_(mn)=0，其他值由遞推關係給出

a_(mn)=3(m+1)a_(m+1,n+1)+(16)/3(n+1)a_(m-2,n+1) -1/3(2m+3n-1)(4m+6n-1)a_(m-1,n)
(11)

(Abramowitz and Stegun 1972, pp. 635-636)。下表給出了小 a_(mn) 係數在小的 m 和 n 時的值。

n=0n=1n=2n=3
a_(0n)1-3-5414904
a_(1n)-1-184968502200
a_(2n)-9513257580162100440
a_(3n)693358820019960-9465715080
a_(4n)3212808945-376375410-4582619446320
a_(5n)160839-41843142-210469286736-1028311276281264

另請參閱

魏爾斯特拉斯常數, 魏爾斯特拉斯橢圓函式, 魏爾斯特拉斯 Zeta 函式

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassSigma/, http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassSigma4/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "魏爾斯特拉斯橢圓函式和相關函式。" Ch. 18 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 627-671, 1972.Brezhnev, Y. V. "單值化：關於 Burnside 曲線 y^2=x^5-x。" 2001 年 12 月 9 日。 http://arxiv.org/abs/math.CA/0111150.Knopp, K. "示例：魏爾斯特拉斯 sigma-函式。" §2d in 函式論，第一部分和第二部分，兩卷合訂本，第二部分。 New York: Dover, pp. 27-30, 1996.Tölke, F. "特殊魏爾斯特拉斯 Sigma 函式。" Ch. 9 in 實用函數理論，第三卷：雅可比橢圓函式，勒讓德橢圓正規積分和特殊魏爾斯特拉斯 Zeta 和 Sigma 函式。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 164-180, 1967.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. "函式 sigma(z)。" §20.42 in 現代分析教程，第 4 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 447-448, 450-452, and 458-461, 1990.

在 中被引用

魏爾斯特拉斯 Sigma 函式

引用為

Weisstein, Eric W. "魏爾斯特拉斯 Sigma 函式。" 來自 --一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/WeierstrassSigmaFunction.html

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