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橢圓函式

一個以 2omega_1 和 2omega_2 為週期的雙週期函式，滿足

f(z+2omega_1)=f(z+2omega_2)=f(z),
(1)

它是解析的，並且在複平面的有限部分沒有奇點，除了極點。 半週期比 tau=omega_2/omega_1 必須不是純實數，因為如果是純實數，當 tau 是有理數時，該函式會簡化為單週期函式；當 tau 是無理數時，則為常數 (Jacobi 1829)。 omega_1 和 omega_2 被標記為滿足 I[tau]=I[omega_2/omega_1]>0，其中 I[z] 是虛部。

橢圓函式的“胞腔”被定義為複平面中的一個平行四邊形區域，在該區域中函式不是多值的。橢圓函式遵循的性質包括：

1. 一個胞腔內的極點數量是有限的。

2. 一個胞腔內的根的數量是有限的。

3. 任何胞腔內復殘數的總和為 0。

4. 劉維爾橢圓函式定理：一個胞腔內沒有極點的橢圓函式是常數。

5. f(z)-c 的零點數量（“階數”）等於 f(z) 的極點數量。

6. 最簡單的橢圓函式具有階數 2，因為階數為 1 的函式將具有一個簡單的不可約極點，這將需要具有非零殘數。根據性質 (3)，這是不可能的。

7. 具有階數為 2 的單極點且復殘數為 0 的橢圓函式稱為魏爾斯特拉斯橢圓函式。具有兩個簡單極點，殘數分別為 a_0 和 -a_0 的橢圓函式稱為雅可比橢圓函式。

8. 任何橢圓函式都可以用魏爾斯特拉斯橢圓函式或雅可比橢圓函式表示。

9. 根的仿射座標之和等於極點的仿射座標之和。

10. 任何兩個具有相同週期的橢圓函式之間都存在代數關係。

橢圓函式是橢圓積分的反函式。這些函式的兩種標準形式被稱為雅可比橢圓函式和魏爾斯特拉斯橢圓函式。雅可比橢圓函式作為以下形式的微分方程的解出現

(d^2x)/(dt^2)=A+Bx+Cx^2+Dx^3,
(2)

而魏爾斯特拉斯橢圓函式作為以下形式的微分方程的解出現

(d^2x)/(dt^2)=A+Bx+Cx^2.
(3)

另請參閱

雙週期函式, 橢圓曲線, 橢圓積分, 半週期比, 雅可比橢圓函式, 雅可比 Theta 函式, 劉維爾橢圓函式定理, 模形式, 模函式, 內維爾 Theta 函式, 魏爾斯特拉斯橢圓函式

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參考文獻

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在 中被引用

橢圓函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "橢圓函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/EllipticFunction.html

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