復殘數

Laurent 級數中常數

(1)

關於點 的 稱為 的留數。如果 在 解析，則其留數為零，但反之不一定成立（例如， 在 處的留數為 0，但在 處不解析）。函式 在點 的留數可以表示為 。留數在 Wolfram 語言中實現為Residue[f, z, z0]。

留數的兩個基本例子由 和 給出，對於 。

函式 繞點 的留數也由下式定義

(2)

其中 是逆時針簡單閉合 輪廓，足夠小以避免 的任何其他 極點。事實上，任何逆時針路徑，其 輪廓纏繞數 為 1，且不包含任何其他 極點，根據 柯西積分公式，都會得到相同的結果。上圖顯示了一個合適的 輪廓，用於定義函式的留數，其中極點以黑點表示。

考慮 亞純 1-形式 的留數更為自然，因為它與座標的選擇無關。在 黎曼曲面 上，亞純 1-形式 在點 的留數定義為，在點 周圍的座標 中寫作 。然後

(3)

的留數之和在 黎曼球面 上為零。更一般地，緊 黎曼曲面 上的 亞純 1-形式 的留數之和必須為零。

函式 的留數可以找到，而無需顯式展開為 Laurent 級數，方法如下。如果 在 極點 階 處有 極點，則對於 和 ，有 。因此，

			(4)
			(5)

兩邊乘以 得到

(6)

取一階導數並重新索引，

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			(8)
			(9)

取二階導數並重新索引，

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			(11)
			(12)

迭代得到

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所以

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因為 ，所以留數為

(17)

全純函式 在其 極點 的留數表徵了函式的大部分結構，例如出現在驚人的 圍道積分 留數定理 中。