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洛朗級數

如果 f(z) 在以 z=a 為中心，半徑分別為 r_1 和 r_2<r_1 的同心圓 K_1 和 K_2 之間的環形區域內和上解析，則存在唯一的以 (z-a) 的正負冪表示的級數展開，

f(z)=sum_(k=0)^inftya_k(z-a)^k+sum_(k=1)^inftyb_k(z-a)^(-k),
(1)

其中

a_k=1/(2pii)∮_(K_1)(f(zeta)dzeta)/((zeta-a)^(k+1))
(2)
b_k=1/(2pii)∮_(K_2)(zeta-a)^(k-1)f(zeta)dzeta
(3)

(Korn and Korn 1968, pp. 197-198)。

LaurentSeries

假設有兩個圓形輪廓 C_2 和 C_1，其中 C_1 的半徑大於 C_2 的半徑。設 z_0 位於 C_1 和 C_2 的中心，且 z 位於 C_1 和 C_2 之間。現在建立一條切割線 C_c 在 C_1 和 C_2 之間，並沿路徑 C=C_1+C_c-C_2-C_c 積分，使得 C_c 的正負貢獻相互抵消，如上圖所示。來自 柯西積分公式，

f(z)=1/(2pii)int_C(f(z^'))/(z^'-z)dz^'
(4)
=1/(2pii)int_(C_1)(f(z^'))/(z^'-z)dz^'+1/(2pii)int_(C_c)(f(z^'))/(z^'-z)dz^'-1/(2pii)int_(C_2)(f(z^'))/(z^'-z)dz^'-1/(2pii)int_(C_c)(f(z^'))/(z^'-z)dz^'
(5)
=1/(2pii)int_(C_1)(f(z^'))/(z^'-z)dz^'-1/(2pii)int_(C_2)(f(z^'))/(z^'-z)dz^'.
(6)

現在，由於來自切割線上相反方向的貢獻相互抵消，

f(z)=1/(2pii)int_(C_1)(f(z^'))/((z^'-z_0)-(z-z_0))dz^'-1/(2pii)int_(C_2)(f(z^'))/((z^'-z_0)-(z-z_0))dz^'
(7)
=1/(2pii)int_(C_1)(f(z^'))/((z^'-z_0)(1-(z-z_0)/(z^'-z_0)))dz^'-1/(2pii)int_(C_2)(f(z^'))/((z-z_0)((z^'-z_0)/(z-z_0)-1))dz^'
(8)
=1/(2pii)int_(C_1)(f(z^'))/((z^'-z_0)(1-(z-z_0)/(z^'-z_0)))dz^'+1/(2pii)int_(C_2)(f(z^'))/((z-z_0)(1-(z^'-z_0)/(z-z_0)))dz^'.
(9)

對於第一個積分，|z^'-z_0|>|z-z_0|。對於第二個積分，|z^'-z_0|<|z-z_0|。現在使用 泰勒級數 (對 |t|<1 有效)

1/(1-t)=sum_(n=0)^inftyt^n
(10)

得到

f(z)=1/(2pii)[int_(C_1)(f(z^'))/(z^'-z_0)sum_(n=0)^(infty)((z-z_0)/(z^'-z_0))^ndz^'+int_(C_2)(f(z^'))/(z-z_0)sum_(n=0)^(infty)((z^'-z_0)/(z-z_0))^ndz^']
(11)
=1/(2pii)sum_(n=0)^(infty)(z-z_0)^nint_(C_1)(f(z^'))/((z^'-z_0)^(n+1))dz^'+1/(2pii)sum_(n=0)^(infty)(z-z_0)^(-n-1)int_(C_2)(z^'-z_0)^nf(z^')dz^'
(12)
=1/(2pii)sum_(n=0)^(infty)(z-z_0)^nint_(C_1)(f(z^'))/((z^'-z_0)^(n+1))dz^'+1/(2pii)sum_(n=1)^(infty)(z-z_0)^(-n)int_(C_2)(z^'-z_0)^(n-1)f(z^')dz^',
(13)

其中第二項已被重新索引。再次重新索引，

f(z)=1/(2pii)sum_(n=0)^infty(z-z_0)^nint_(C_1)(f(z^'))/((z^'-z_0)^(n+1))dz^' +1/(2pii)sum_(n=-infty)^(-1)(z-z_0)^nint_(C_2)(f(z^'))/((z^'-z_0)^(n+1))dz^'.
(14)

由於被積函式，包括函式 f(z)，在由 C_1 和 C_2 定義的環形區域內是解析的，因此積分與該區域內的積分路徑無關。如果我們將積分路徑 C_1 和 C_2 替換為半徑為 r 的圓 C，且 r_1<=r<=r_2，則

f(z)=1/(2pii)sum_(n=0)^(infty)(z-z_0)^nint_C(f(z^'))/((z^'-z_0)^(n+1))dz^'+1/(2pii)sum_(n=-infty)^(-1)(z-z_0)^nint_C(f(z^'))/((z^'-z_0)^(n+1))dz^'
(15)
=1/(2pii)sum_(n=-infty)^(infty)(z-z_0)^nint_C(f(z^'))/((z^'-z_0)^(n+1))dz^'
(16)
=sum_(n=-infty)^(infty)a_n(z-z_0)^n.
(17)

通常，積分路徑可以是任何位於環形區域內並沿正（逆時針）方向繞 z_0 一週的路徑 gamma。

因此，復殘數 a_n 由下式定義

a_n=1/(2pii)int_gamma(f(z^'))/((z^'-z_0)^(n+1))dz^'.
(18)

請注意，環形區域本身可以透過增加 r_1 和減小 r_2 來擴充套件，直到達到 f(z) 的奇點，這些奇點恰好位於 C_1 之外或 C_2 之內。如果 f(z) 在 C_2 內部沒有奇點，則 (◇) 中的所有 b_k 項都等於零，並且 (◇) 的洛朗級數簡化為具有係數 a_k 的 泰勒級數。

另請參閱

復殘數, 麥克勞林級數, 主部, 泰勒級數

本條目的部分內容由 David Goodmanson 貢獻

使用 探索

參考文獻

Arfken, G. "Laurent Expansion." §6.5 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 376-384, 1985.Korn, G. A. and Korn, T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, p. 198, 1968.Knopp, K. "The Laurent Expansion." Ch. 10 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 117-122, 1996.Krantz, S. G. "Laurent Series." §4.2.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 43, 1999.Morse, P. M. and Feshbach, H. "Derivatives of Analytic Functions, Taylor and Laurent Series." §4.3 in Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 374-398, 1953.

在 中被引用

洛朗級數

引用為

Goodmanson, David 和 Weisstein, Eric W. "Laurent Series." 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/LaurentSeries.html

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