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柯西積分公式

CauchysIntegralFormula

柯西積分公式指出

f(z_0)=1/(2pii)∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0),
(1)

其中積分是沿圍道積分，圍道 gamma 包圍點 z_0。

它可以由考慮圍道積分推導得出

∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0),
(2)

定義路徑 gamma_r 為圍繞點 z_0 的無窮小逆時針圓，並定義路徑 gamma_0 為具有切割線的任意環路（前向和反向貢獻在切割線上相互抵消），以便繞過 z_0。則總路徑為

gamma=gamma_0+gamma_r,
(3)

因此

∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0)=∮_(gamma_0)(f(z)dz)/(z-z_0)+∮_(gamma_r)(f(z)dz)/(z-z_0).
(4)

根據柯西積分定理，沿任何不包圍極點的路徑的圍道積分為 0。因此，上述方程中的第一項為 0，因為 gamma_0 不包圍極點，我們剩下

∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0)=∮_(gamma_r)(f(z)dz)/(z-z_0).
(5)

現在，令 z=z_0+re^(itheta)，所以 dz=ire^(itheta)dtheta。則

∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0)=∮_(gamma_r)(f(z_0+re^(itheta)))/(re^(itheta))ire^(itheta)dtheta
(6)
=∮_(gamma_r)f(z_0+re^(itheta))idtheta.
(7)

但是我們可以自由地讓半徑 r 縮小到 0，所以

∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0)=lim_(r->0)∮_(gamma_r)f(z_0+re^(itheta))idtheta
(8)
=∮_(gamma_r)f(z_0)idtheta
(9)
=if(z_0)∮_(gamma_r)dtheta
(10)
=2piif(z_0),
(11)

給出 (1)。

如果繞點 z_0 進行多次迴圈，則方程 (11) 變為

n(gamma,z_0)f(z_0)=1/(2pii)∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0),
(12)

其中 n(gamma,z_0) 是圍道卷繞數。

對於 f(z) 的導數，也存在類似的公式：

f^'(z_0)=lim_(h->0)(f(z_0+h)-f(z_0))/h
(13)
=lim_(h->0)1/(2piih)[∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0-h)-∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0)]
(14)
=lim_(h->0)1/(2piih)∮_gamma(f(z)[(z-z_0)-(z-z_0-h)]dz)/((z-z_0-h)(z-z_0))
(15)
=lim_(h->0)1/(2piih)∮_gamma(hf(z)dz)/((z-z_0-h)(z-z_0))
(16)
=1/(2pii)∮_gamma(f(z)dz)/((z-z_0)^2).
(17)

再次迭代，

f^('')(z_0)=2/(2pii)∮_gamma(f(z)dz)/((z-z_0)^3).
(18)

繼續此過程並新增圍道卷繞數 n，

n(gamma,z_0)f^((r))(z_0)=(r!)/(2pii)∮_gamma(f(z)dz)/((z-z_0)^(r+1)).
(19)

參見

輻角原理, 柯西積分定理, 復殘數, 圍道積分, 莫雷拉定理, 極點

使用 探索

參考文獻

Arfken, G. "Cauchy's Integral Formula." §6.4 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 371-376, 1985.Kaplan, W. "Cauchy's Integral Formula." §9.9 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 598-599, 1991.Knopp, K. "Cauchy's Integral Formulas." Ch. 5 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 61-66, 1996.Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 367-372, 1953.Woods, F. S. "Cauchy's Theorem." §146 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 352-353, 1926.

在 上被引用

柯西積分公式

引用為

Weisstein, Eric W. "柯西積分公式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CauchyIntegralFormula.html

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