如果 
在某個單連通區域 
內是解析的，則
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(1)
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對於任何閉合輪廓 
，該輪廓完全包含於 
。將 
寫作
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(2)
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以及將 
寫作
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(3)
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則得到
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(4)
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(5)
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根據格林定理，
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(6)
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(7)
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因此 (◇) 變為
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(8)
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但是 Cauchy-Riemann 方程 要求
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(9)
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(10)
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因此
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(11)
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對於一個多連通區域，
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(12)
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柯西積分定理
另請參閱
幅角原理, 柯西積分公式, 路徑積分, Morera 定理, 殘數定理使用 探索
參考資料
Arfken, G. "柯西積分定理。" §6.3 in 物理學家數學方法，第 3 版 Orlando, FL: Academic Press, pp. 365-371, 1985.Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in 高等微積分，第 4 版 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.Knopp, K. "Cauchy's Integral Theorem." Ch. 4 in 函式論第一部和第二部，合訂為一卷，第一部。 New York: Dover, pp. 47-60, 1996.Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in 復變數手冊。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.Morse, P. M. and Feshbach, H. 理論物理學方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953.Woods, F. S. "Integral of a Complex Function." §145 in 高等微積分：為應用數學專業學生的需求而特別安排的課程。 Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.在 中被引用
柯西積分定理引用為
Weisstein, Eric W. "柯西積分定理。" 來自 ——一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/CauchyIntegralTheorem.html