柯西-黎曼方程

設

(1)

其中

(2)

因此

(3)

f 關於 的全導數是

			(4)
			(5)

用 和 表示，(5) 變為

			(6)
			(7)

沿實軸，或 x-軸, , 因此

(8)

沿虛軸，或 y-軸, , 因此

(9)

如果 是 復可微 的，那麼對於給定的 ，導數值必須相同，與其方向無關。因此，(8) 必須等於 (9)，這要求

(10)

和

(11)

這些被稱為柯西-黎曼方程。

它們匯出條件

			(12)
			(13)

柯西-黎曼方程可以簡明地寫成

			(14)
			(15)
			(16)
			(17)

其中 是 複共軛。

如果 , 那麼柯西-黎曼方程變為

			(18)
			(19)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 17)。

如果 和 滿足柯西-黎曼方程，它們也滿足二維拉普拉斯方程，因為

(20)

(21)

透過選擇任意 ，可以找到自動滿足柯西-黎曼方程和 拉普拉斯方程 的解。這一事實被用於使用 共形對映 來找到涉及標量勢的物理問題的解，例如流體流動和靜電學。