共形對映，也稱為共形圖、共形變換、保角變換或雙全純對映，是一種 變換 
，它保留區域性角度。一個解析函式在其導數非零的任何點都是共形的。反之，任何具有連續偏導數的復變數的共形對映都是解析的。共形對映在複分析以及物理學和工程學的許多領域中都極其重要。
一種保留角度的大小但不保留其方向的對映稱為等角對映（Churchill 和 Brown 1990，第 241 頁）。
上面第一個圖中說明了規則網格的幾種共形變換。在上面第二個圖中，顯示了常數 
的輪廓以及變換後它們對應的輪廓。Moon 和 Spencer（1988）以及 Krantz（1999，第 183-194 頁）給出了共形對映表。
Szegö 提出的一種方法給出了正方形到圓盤的共形對映的迭代近似，並且可以使用橢圓函式完成精確對映（Oberhettinger 和 Magnus 1949；Trott 2004，第 71-77 頁）。
設 
和 
分別是在 複平面中 
和 
處的曲線 
和 
的切線，
![arg(w-w_0)=arg[(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)]+arg(z-z_0).](/images/equations/ConformalMapping/NumberedEquation1.svg) |
(3)
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然後當 
且 
時，
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(4)
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(5)
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一個函式 
是共形的當且僅當存在複數 
和 
使得
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(6)
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對於 
（Krantz 1999，第 80 頁）。此外，如果 
是一個解析函式，使得
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(7)
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則 
是 
的多項式（Greene 和 Krantz 1997；Krantz 1999，第 80 頁）。
共形變換可以證明在解決物理問題中非常有用。透過令 
，實部和虛部 
必須滿足 柯西-黎曼方程 和 拉普拉斯方程，因此它們自動提供標量勢函式和所謂的流函式。如果可以找到一個物理問題，其解是有效的，那麼我們就可以透過反向工作獲得一個解——這可能很難直接獲得。
例如，令
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(8)
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實部和虛部然後給出
對於 
，
這是一個雙雙紐線系統（Lamb 1945，第 69 頁）。
對於 
，
此解由兩個圓系統組成，
是兩個平行的相反帶電線電荷的勢函式（Feynman等人1989，§7-5；Lamb 1945，第 69 頁）。
對於 
，
給出了薄板邊緣附近的場（Feynman等人1989，§7-5）。
對於 
，
給出兩條直線（Lamb 1945，第 68 頁）。
對於 
，
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(19)
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給出了矩形角外部附近的場（Feynman等人1989，§7-5）。
對於 
，
這是兩個垂直的雙曲線，
是兩個點電荷中間附近的勢函式或帶電直角導體開口側的場（Feynman 1989，§7-3）。
另請參閱
解析函式,
柯西-黎曼方程,
凱萊變換,
共形投影,
離散共形對映,
調和函式,
間接共形對映,
等角對映,
拉普拉斯方程,
莫比烏斯變換,
擬共形對映,
施瓦茨-克里斯托費爾對映,
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參考文獻
Arfken, G. "Conformal Mapping." §6.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 392-394, 1985.Bergman, S. The Kernel Function and Conformal Mapping. New York: Amer. Math. Soc., 1950.Carathéodory, C. Conformal Representation. New York: Dover, 1998.Carrier, G.; Crook, M.; and Pearson, C. E. Functions of a Complex Variable: Theory and Technique. New York: McGraw-Hill, 1966.Churchill, R. V. and Brown, J. W. Complex Variables and Applications, 5th ed. New York: McGraw-Hill, 1990.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 80, 1967.Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; and Sands, M. The Feynman Lectures on Physics, Vol. 2. Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1989.Greene, R. E. and Krantz, S. G. Function Theory of One Complex Variable. New York: Wiley, 1997.Katznelson, Y. An Introduction to Harmonic Analysis. New York: Dover, 1976.Kober, H. Dictionary of Conformal Representations. New York: Dover, 1957.Krantz, S. G. "Conformality," "The Geometric Theory of Holomorphic Functions," "Applications That Depend on Conformal Mapping," and "A Pictorial Catalog of Conformal Maps." §2.2.5, Ch. 6, Ch. 14, and Appendix to Ch. 14 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 25, 79-88, and 163-194, 1999.Kythe, P. K. Computational Conformal Mapping. Boston, MA: Birkhäuser, 1998.Lamb, H. Hydrodynamics, 6th ed. New York: Dover, 1945.Mathews, J. "Conformal Mappings." http://www.ecs.fullerton.edu/~mathews/fofz/cmaps.html.Moon, P. and Spencer, D. E. "Conformal Transformations." §2.01 in Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 49-76, 1988.Morse, P. M. and Feshbach, H. "Conformal Mapping." §4.7 in Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 358-362 and 443-453, 1953.Nehari, Z. Conformal Mapping. New York: Dover, 1982.Oberhettinger, F. and Magnus, W. Anwendungen der elliptischen Funktionen in Physik and Technik. Berlin: Springer-Verlag, 1949.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.在 上引用
共形對映
請引用本文為
Weisstein, Eric W. “共形對映。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ConformalMapping.html
學科分類
![A(x+iy)^2=A[(x^2-y^2)+2ixy]](/images/equations/ConformalMapping/Inline67.svg)
