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拉普拉斯方程

拉普拉斯方程的標量形式是偏微分方程

del ^2psi=0,
(1)

其中 del ^2 是拉普拉斯運算元。

請注意，運算元 del ^2 通常被數學家寫作 Delta（Krantz 1999，第16頁）。拉普拉斯方程是亥姆霍茲微分方程的一個特例

del ^2psi+k^2psi=0
(2)

當 k=0 時，或者泊松方程

del ^2psi=-4pirho
(3)

當 rho=0 時。

向量拉普拉斯方程由下式給出

del ^2F=0.
(4)

滿足拉普拉斯方程的函式 psi 被稱為調和函式。拉普拉斯方程的解具有以下性質：在球面上的平均值等於球心處的值（高斯調和函式定理）。解沒有區域性最大值或最小值。由於拉普拉斯方程是線性的，因此任何兩個解的疊加也是一個解。

如果滿足以下條件之一，則拉普拉斯方程的解是唯一確定的：（1）函式在所有邊界上的值是指定的（狄利克雷邊界條件）；（2）函式在所有邊界上的法嚮導數是指定的（諾伊曼邊界條件）。

座標系變數解函式
笛卡爾座標系X(x)Y(y)Z(z)指數函式，圓函式，雙曲函式
圓柱座標系R(r)Theta(theta)Z(z)貝塞爾函式，指數函式，圓函式
圓錐座標系橢球諧波，冪函式
共焦橢球座標系Lambda(lambda)M(mu)N(nu)第一類橢球諧波
橢圓柱座標系U(u)V(v)Z(z)馬蒂厄函式，圓函式
扁球面座標系Lambda(lambda)M(mu)N(nu)勒讓德多項式，圓函式
拋物線座標系貝塞爾函式，圓函式
拋物柱面座標系拋物柱面函式，貝塞爾函式，圓函式
拋物面座標系U(u)V(v)Theta(theta)圓函式
長球面座標系Lambda(lambda)M(mu)N(nu)勒讓德多項式，圓函式
球座標系R(r)Theta(theta)Phi(phi)勒讓德多項式，冪函式，圓函式

拉普拉斯方程可以透過分離變數法在亥姆霍茲微分方程可以分離變數的所有 11 個座標系中求解。這些解的形式總結在上表中。除了這 11 個座標系之外，透過引入一個乘法因子，還可以在另外兩個座標系中實現分離變數法。在這些座標系中，分離後的形式是

psi=(X_1(u_1)X_2(u_2)X_3(u_3))/(R(u_1,u_2,u_3)),
(5)

並設定

(h_1h_2h_3)/(h_i^2)=g_i(u_(i+1),u_(i+2))f_i(u_i)R^2,
(6)

其中 h_i 是比例因子，得到拉普拉斯方程

sum_(i=1)^31/(h_i^2X_i)[1/(f_i)d/(du_i)(f_i(dX_i)/(du_i))]=sum_(i=1)^31/(h_i^2R)[1/(f_i)partial/(partialu_i)(f_i(partialR)/(partialu_i))].
(7)

如果右側等於 -k_1^2/F(u_1,u_2,u_3)，其中 k_1 是常數， 是任意函式，並且如果

h_1h_2h_3=Sf_1f_2f_3R^2F,
(8)

其中 S 是Stäckel 行列式，那麼可以使用亥姆霍茲微分方程的方法求解該方程。這種情況適用的兩個系統是雙球座標系和環面座標系，這使得拉普拉斯方程的可分離系統總數達到 13 個（Morse 和 Feshbach 1953，第 665-666 頁）。

在二維雙極座標系中，拉普拉斯方程是可分離的，儘管亥姆霍茲微分方程不是。

Zwillinger（1997，第128頁）稱

(a_0x+b_0)y^((n))+(a_1x+b_1)y^((n-1))+...+(a_nx+b_n)y=0
(9)

為拉普拉斯方程。

另請參閱

邊界條件，第一類橢球諧波，調和函式，亥姆霍茲微分方程，拉普拉斯運算元，偏微分方程，泊松方程，分離變數法，Stäckel 行列式

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 17, 1972.Byerly, W. E. An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics. New York: Dover, 1959.Eisenhart, L. P. "Separable Systems in Euclidean 3-Space." Physical Review 45, 427-428, 1934.Eisenhart, L. P. "Separable Systems of Stäckel." Ann. Math. 35, 284-305, 1934.Eisenhart, L. P. "Potentials for Which Schroedinger Equations Are Separable." Phys. Rev. 74, 87-89, 1948.Krantz, S. G. "The Laplace Equation." §7.1.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 16 and 89, 1999.Moon, P. and Spencer, D. E. "Recent Investigations of the Separation of Laplace's Equation." Proc. Amer. Math. Soc. 4, 302, 1953.Moon, P. and Spencer, D. E. "Eleven Coordinate Systems." §1 in Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 1-48, 1988.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 125-126 and 271, 1953.Valiron, G. The Geometric Theory of Ordinary Differential Equations and Algebraic Functions. Brookline, MA: Math. Sci. Press, pp. 306-315, 1950.Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 417, 1995.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 128, 1997.

在 中引用

拉普拉斯方程

請這樣引用

Weisstein, Eric W. "拉普拉斯方程。" 來自 -- Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/LaplacesEquation.html

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