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Mathieu 函式

Mathieu 函式是 Mathieu 微分方程 的解

(d^2V)/(dv^2)+[a-2qcos(2v)]V=0.
(1)

偶 解用 C(a,q,v) 表示，奇 解用 S(a,q,v) 表示。這些由 Wolfram 語言 函式返回MathieuC[a, q, z] 和MathieuS[a, q, z]，分別地。類似地，它們的導數實現為MathieuCPrime[a, q, z] 和MathieuSPrime[a, q, z]。

這些函數出現在涉及橢圓形狀或週期勢的物理問題中，最早由 Mathieu (1868) 在分析橢圓膜的運動時引入。不幸的是，Mathieu 函式的解析確定“提出了很大的困難”（Whittaker 1914，Frenkel 和 Portugal 2001），並且它們很難使用，“主要是因為無法以簡單方便的方式解析表示它們”（Sips 1949，Frenkel 和 Portugal 2001）。

Mathieu 函式具有特殊值

C(a,0,z)=cos(sqrt(a)z)
(2)
S(a,0,z)=sin(sqrt(a)z).
(3)

對於非零 q，Mathieu 函式僅在 z 中是週期的，對於某些 a 值。這些特徵值由 Wolfram 語言 函式給出MathieuCharacteristicA[r, q] 和MathieuCharacteristicB[r, q]，其中 r 是整數或有理數。這些值通常表示為 a_r 和 b_r。一般來說，a_r 和 b_r 都是具有非常複雜分支切割結構的多值函式。不幸的是，對於如何定義分支切割沒有普遍的共識。因此，Wolfram 語言 的實現只是選擇了一個方便的 sheet。

MathieuA
MathieuB

對於整數 r，具有特徵值 a_r 和 b_r 的偶數和奇數 Mathieu 函式通常表示為 ce_r(z,q) 和 se_r(z,q)，分別稱為橢圓餘弦和橢圓正弦函式 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 725; Frenkel and Portugal 2001)。上面的左圖顯示 a_r 對於 r=0, 1, ..., 4，右圖顯示 b_r 對於 r=1, ..., 4。

Whittaker 和 Watson (1990, p. 405) 基於以下方程定義 Mathieu 函式

(d^2u)/(dz^2)+[a+16qcos(2z)]u=0.
(4)

這個方程與 Hill 微分方程 密切相關。對於偶 Mathieu 函式，

G(eta)=lambdaint_(-pi)^pie^(kcosetacostheta)G(theta)dtheta,
(5)

其中 k=sqrt(32q)。對於奇 Mathieu 函式，

G(eta)=lambdaint_(-pi)^pisin(ksinetasintheta)G(theta)dtheta.
(6)

偶函式和奇函式都滿足

G(eta)=lambdaint_(-pi)^pie^(iksinetasintheta)G(theta)dtheta.
(7)

令 zeta=cos^2z 將 Mathieu 微分方程 轉換為

4zeta(1-zeta)(d^2u)/(dzeta^2)+2(1-2zeta)(du)/(dzeta)+(a-16q+32qzeta)u=0.
(8)

另請參閱

橢圓餘弦, 橢圓正弦, Mathieu 特徵指數, Mathieu 微分方程

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/MathieuFunctions/MathieuC/, http://functions.wolfram.com/MathieuFunctions/MathieuS/, http://functions.wolfram.com/MathieuFunctions/MathieuCPrime/, http://functions.wolfram.com/MathieuFunctions/MathieuSPrime/, http://functions.wolfram.com/MathieuFunctions/MathieuCharacteristicA/, http://functions.wolfram.com/MathieuFunctions/MathieuCharacteristicB/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). "Mathieu Functions." 第 20 章，Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 721-746, 1972.Blanch, G. "Asymptotic Expansion for the Odd Periodic Mathieu Functions." Trans. Amer. Math. Soc. 97, 357-366, 1960.Dingle, R. B. 和 Müller, H. J. W. "Asymptotic Expansions of Mathieu Functions and Their Characteristic Numbers." J. reine angew. Math. 211, 11-32, 1962.Frenkel, D. 和 Portugal, R. "Algebraic Methods to Compute Mathieu Functions." J. Phys. A: Math. Gen. 34, 3541-3551, 2001.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. "Mathieu Functions." §6.9 和 8.6，Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 800-804 和 1006-1013, 2000.Humbert, P. Fonctions de Lamé et Fonctions de Mathieu. Paris: Gauthier-Villars, 1926.Mathieu, É. "Mémoire sur le mouvement vibratoire d'une membrane de forme elliptique." J. math. pure appl. 13, 137-203, 1868.McLachlan, N. W. Theory and Applications of Mathieu Functions. New York: Dover, 1964.Mechel, F. P. Mathieu Functions: Formulas, Generation, Use. Stuttgart, Germany: Hirzel, 1997.Meixner, J. 和 Schäfke, F. W. Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen. Berlin: Springer-Verlag, 1954.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 562-568 和 633-642, 1953.Rubin, H. "Anecdote on Power Series Expansions of Mathieu Functions." J. Math. Phys. 43, 339-341, 1964.Sips, R. "Représentation asymptotique des fonctions de Mathieu et des fonctions d'onde sphéroidales." Trans. Amer. Math. Soc. 66, 93-134, 1949.Whittaker, E. T. "On the General Solution of Mathieu's Equation." Proc. Edinburgh Math. Soc. 32, 75-80, 1914.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 上引用

Mathieu 函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Mathieu 函式。" 出自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MathieuFunction.html

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